江西省萍乡市安源区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份江西省萍乡市安源区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了 函数中自变量的取值范围是， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
1.本试题卷满分120分，考试时间120分钟．
2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
答案：C
解析：
详解：解：有理数的相反数是2024，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 如图所示几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：从正面看，底层是一个矩形，上层的中间是一个等腰三角形．
故选：A．
4. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是（ ）
A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 8cm
答案：B
解析：
详解：解：设第三根木棒的长为，
由三角形的三边关系可知，，即．
∴能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是4cm．
故选：B．
5. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3D.
答案：C
解析：
详解：由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故选C.
6. 如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：解：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，
由30°角所对直角边等于斜边一半,可推导h=,
所以;
过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：
∵边长为4的菱形中，，
∴，
∴∠ABE=30°，
∴，
∴，
点P与点B重合时，△ADP的面积最大，最大为；
当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变，
当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，
根据含30°角直角三角形的性质，可得AD边上的高h是等于，即h=,
所以;
∴综上可得只有A选项符合题意；
故选A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：_________．
答案：
解析：
详解：解：．
故答案为：
8. 一颗中高轨道卫星距离地面高度大约是米，将数据用科学记数法表示为______．
答案：
解析：
详解：解：
故答案为：．
9. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为________．
答案：
解析：
详解：解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴解得：，
∴一元二次方程的一般式为，
∴解得，，
∴这个方程的另一个根为，
故答案为．
10. 如图，将长方形ABCD沿EF所在直线折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝32°，则∠EFC等于______．
答案：106°##106度
解析：
详解：解：∵∠AEG＝32°，
∴∠DEG＝148°，
由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEG∠DEG＝74°，
∵ADBC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝106°，
故答案为：106°．
11. 如图，在中，，，，点、分别是、的中点，交的延长线于，则四边形的面积为______．
答案：12
解析：
详解：解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴，
又∵BD=DC，
∴，
∴，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=AB×AC=×4×6=12，
∴四边形AFBD的面积为：12；
故答案为：12．
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当为等腰三角形时，则AP的长为______．
答案：3或或
解析：
详解：解：∵四边形是矩形，
∴
∵为的中点，
∴
设则
①当时，如图1，
在中，，
∴
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去，
∴即
②当时，连接如图2，
在中，，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴是△的中位线，
∴，
∵,
∴,
解得，，
经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去，
∴即；
③当时，过点作，垂足为点垂足为点如图3，
∴四边形是矩形，//，
∴
∵//，
∴△
∴
∴
∴，
综上，的值为3或或．
故答案为3或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，在中，，，垂足分别为、．求证：．
答案：（1）；（2）见解析
解析：
详解：（1）解：原式
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，，
，
在和中，
，
．
14. 先化简，再求值：，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
答案：2x﹣3，-5
解析：
详解：原式=[+]÷
=（+）•x
=x﹣1+x﹣2
=2x﹣3
由于x为满足﹣3＜x＜2的整数，x≠0且x≠1且x≠﹣2，
所以x=﹣1，
原式=﹣2﹣3=﹣5
15. 如图，矩形中，点在上，，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）

（1）在图1中，画出的平分线；
（2）在图2中，画出的平分线，交于点，并说明理由．
答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析；理由见解析
解析：
小问1详解：
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
则为所作；
小问2详解：
如图，连接、，交于点，连接并延长交于，
则即为所作．
理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴平分，
即平分．

16. 端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．
（1）小刚拿到的两个粽子都为大枣味是 事件；（填“必然”、“不可能”“随机”）
（2）请你用树状图或列表的方法，求小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．
答案：（1）随机 （2）
解析：
小问1详解：
解：小刚拿到的两个粽子都为大枣味是随机事件，
故答案为：随机；
小问2详解：
解：
（2）记两个是大枣味的粽子分别为，，两个火腿味的分别为，，列表如下：
一共有12种等可能的结果，小红拿到的两个粽子刚好是同一味道有4种等可能的结果，
所以．
17. 如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B．
（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积．
答案：(1)y=，y=﹣x+5；(2)10.
解析：
详解：解：（1）把A（1，4）代入y=得k=1×4=4，
所以反比例函数的解析式为y=；
把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5，
所以直线解析式为y=﹣x+5；
（2）当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0），
所以△AOB的面积=×5×4=10．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（）数据，绘制出三幅不完整的统计图表，请根据图表中提供的信息解答下列问题：
城区空气质量等级天数统计表
（1）统计表中 ， ，扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；
（2）完善条形统计图，并通过计算可知扇形统计图中扇形圆心角的度数为 度；
（3）通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
答案：（1）20，8，55
（2）36，图见解析 （3）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天
解析：
小问1详解：
解：，
，
空气质量等级为“良”的天数占：．
故答案为：20，8，55；
小问2详解：
解：补全条形统计图如解图所示：
扇形C圆心角的度数为，
故答案为：36；
小问3详解：
解：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：（天），
答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天．
19. 某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元：购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元．
（1）求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
（2）若该花店准备同时购进这两种花共300枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
答案：（1）每枝康乃馨5元，每枝百合10元
（2）购买康乃馨200枝，百合100枝，见解析
解析：
小问1详解：
解：设每枝康乃馨元，每枝百合元，
根据题意得：，解得，
答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元；
小问2详解：
最省钱的购买方案是购买康乃馨200枝，百合100枝，
理由：设购买康乃馨枝，则购买百合枝，费用为W元，
，
∵≤，
∴≤200，
∴当时，W取得最小值，此时W=2000，，
即最省钱的购买方案是购买购买康乃馨200枝，百合100枝．
20. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角，视线PE与地面BE的夹角，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AFBE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
（1）求盲区中DE的长度；
（2）点M在ED上，MD=1.8m，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
答案：（1）；（2）不能，理由见解析
解析：
详解：解：（1），，
∴，
∵，
四边形ACDF是平行四边形，
，
四边形ACDF是矩形，
，在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
答：盲区中DE的长度为2.8m；
（2）如图所示：过点M作，
，，
，，
可得：，
则，
故，，
解得：，
，
在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员不能观察到物体．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，且平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，
①求的直径；
②求阴影部分的面积．
答案：（1）见解析 （2）①；②
解析：
小问1详解：
证明：如图，连接．
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
∵点是上一点，
∴是的切线·
小问2详解：
解：在中，
，
，
由勾股定理，得
∵是的直径，
．
又，
，
，即，解得．
∴的直径为4；
，
，
，
∴是等边三角形，
∴阴影部分的面积．
22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．
（1）观察猜想
如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为______；
②之间的数量关系为______（将结论直接写在横线上）．
（2）数学思考
如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明；
（3）拓展延伸
如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长．
答案：（1）①；②
（2）成立；不成立，．理由见详解
（3）5
解析：
小问1详解：
解：①∵正方形中，，
，
，
在和中
，
，
，
∴，
即；
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
小问2详解：
成立；不成立，．理由如下：
∵正方形中，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
，
．
小问3详解：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
，
．
∵，
，
，
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）3；（3）存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
解析：
详解：
（1）∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3，∴点B的坐标为（3，0），∵y=﹣x+3过点C，易知C（0，3），∴c=3．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为（1，0）．
又∵抛物线过点A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：；
（2）如图1，∵=，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC===，PB==，∴BC===，又∵=2+18=20，=20，∴，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=PB•BC==3；
（3）如图2，由=，得P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）．
②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即，解得：QB=．
∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣=，∴Q2的坐标是（，0）．
③当Q在B点右侧，则∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上．
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
指数
质量等级
天数（天）
0~50
优
m
51~100
良
44
101~150
轻度污染
n
151~200
中度污染
4
201~300
重度污染
2
300以上
严重污染
2