西南大学附属中学校2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含答案)

这是一份西南大学附属中学校2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个实数中,是无理数的是( )
A.2B.C.
2．下列四个劳动工具的图形中,是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
3．若反比例函数的图象经过,则k的值是( )
A.B.C.2D.3
4．若两个相似三角形的周长之比是1:4,那么这两个三角形的面积之比是( )
A.1:4B.1:2C.1:16D.1:8
5．如图,若,,,则的度数是( )
A.B.C.D.
6．估计的值应在( )
A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间
7．如图,第1个图案中有2个黑色正方形,第2个图案中有4个黑色正方形,第3个图案中有8个黑色正方形,第④个图案中有12个黑色正方形,……,依此类推,第⑧个图案中黑色正方形的个数是( )
A.20B.30C.40D.50
8．如图,是等边的外接圆,过点A作的切线交的延长线于点D,若,则的长为( )
A.2B.3C.D.
9．如图,将正方形的边绕点C顺时针旋转得到,连接,再将绕点A顺时针旋转得到,连接,,若,则的大小为( )
A.B.C.D.
10．将代数式中的任意两个加号变为减号,然后再去掉括号,这样的操作称之为“双减运算”,例如：.
下列说法：
①不存在两个“双减运算”的结果和为0；
②所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果；
③所有可能的“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种.
其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
11．_______.
12．若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍,则该正多边形的每一个外角是_______.
13．不透明袋子里有1个红球,1个黄球,2个蓝球(这些球除颜色外完全相同).小明和小红随机抽取一次,抽取后不放回,则小明和小红都没有抽到蓝球的概率为_______.
14．“阅百十风华,致生涯广大”—附中将迎来办学周年系列庆祝活动,文创产品深受校友们的喜爱,其中最热卖的单品是“烟雨伞”.据了解,2月份销售数量是把,4月份销售数量是把,设3、4月份“烟雨伞”销售数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为_______.
15．如图,在中,,,以点B为圆心,线段的长为半径作弧,与交于点D,与交于点E.若,则图中阴影部分面积为_______.(结果保留)
16．如图,在矩形中,,,平分,交于点E,连接,交于点F,则的长为_______.
17．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解,且关于y的分式方程有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是_______.
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0,并且满足,那么称这个四位数为“加和数”.例如：四位数5127,因为,所以5127是“加和数”：又如：四位数6238,因为,所以6238不是“加和数”.若M是“加和数”,记,若是一个完全平方数,则_______；记,若“加和数”能被7整除,则满足条件的所有的和为_______.
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2).
20．某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系,请根据下列探究思路完成作图和填空：
(1)尺规作图：过点E作,分别交边,于点G,F.
(2)已知：在正方形中,点E是对角线上一点,,分别交边,于点G,F.求证：
证明：四边形是正方形
平分,,.
①
在和中,
.
,,
又,
,
,
②.
,且
.
③,
.
④.
.
21．我校开展了“传统节日”的知识竞答活动,初2024届800名学生参与了此次竞答活动(满分：50分).答题完成后,在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩,对数据进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示,其中A：,B：,C：,D：,E：),并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50,49,50,50,49,50,50,50,50,49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47,48,48,47,48,48.
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
(1)根据以上信息可以求出：______,______,______；
(2)你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好,请说明理由(理由写出一条即可)；
(3)若规定49分及以上为优秀,请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
22．去年寒假,哈尔滨成为了全国的热门旅游城市,滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选,头盔是重要的滑雪装备之一,可分为半盔型和全盔型两种,某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共20个,半盔型进价是180元,全盔型进价是210元,半盔型售价为230元,全盔型售价为250元.
(1)若该店第一次购买两种头盔共花了3840元,则购买半盔型和全盔型各多少个？
(2)第一批头盔销量不错,该店又购进一批,第二批两种头盔的进价不变,半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了m元,结果半盔型获得265元的利润和全盔型获得190元的利润时售卖数量相同,求m的值.
23．如图,在矩形中,,.点P从点A出发,沿折线方向以每秒1个单位长度运动,运动到点D处停止.设运动时间为x秒,的面积为y.
(1)请直接写出y关于x的函数表达式,并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
(3)当的面积超过3时,直接写出的取值范围.(保留一位小数,误差不超过0.2)
24．“办学110周年庆祝活动”筹备小组为了更好的服务校友们,特绘制了校园地图.学校大门在点A处,格致楼B在学校大门的北偏西方向相距100米处,博雅楼C在格致楼B的正北方向,万象楼D在学校大门A的正北方向80米处,在操场E的西南方向,操场E在博雅楼C的正东方向,在学校大门A的北偏东方向.(参考数据：,,)
(1)求的长度；(结果精确到1米)
(2)筹备组初步拟定校庆活动方案,校友们先在志愿者带领下参观校园,最后在操场汇合,参加庆典活动.筹备组初步设定了2条参观线路,线路一：沿,速度预计为30米/分钟,线路二：沿,速度预计为20米/分钟,若两条线路的校友同时出发,预计哪一条线路的校友先到操场？(结果精确到0.1)
25．如图,在平而直角坐标系中,抛物线过点,交x轴于点和点B,交y轴于点C.
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图,点P是直线下方拋物线上一动点,过点P作轴交于点D,过点P作交于点E,求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线,新拋物线与x轴的负半轴交于点N,请问在新拋物线上是否存在一点T,使得？若存在,则直接写出点T的坐标；若不存在,则说明理由.
26．在中,,,点D是线段上一点.
(1)如图1,已知,,求的长；
(2)如图2,点D是的中点,点R,G分别是线段,上的点,连接并延长与交于点F,以为直角边,构造等腰,在上取一点E,当,时,求证：；
(3)如图3,将沿所在直线翻折至所在平面内得到,将沿所在直线翻折至所在平面内得到,以为直角边作等腰,连接,当取得最小值时,直接写出的值.
参考答案
1．答案：B
解析：A.2是正整数,属于有理数,故选项不符合题意；
B.是无限不循环小数,属于无理数,故选项符合题意；
C.是分数是有理数,故选项不符合题意；
是有限小数,属于有理数,故选项不符合题意；
故选：B.
2．答案：C
解析：A中不是轴对称图形,故不符合要求；
B中不是轴对称图形,故不符合要求；
C中是轴对称图形,故符合要求；
D中不是轴对称图形,故不符合要求；
故选：C.
3．答案：A
解析：将点代入反比例函数,
得：,
解得：,
故选：A.
4．答案：C
解析：∵相似三角形的周长之比是1:4,
∴对应边之比为1:4,
∴这两个三角形的面积之比是：1:16,
故选C.
5．答案：B
解析：∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：B.
6．答案：B
解析：原式
即
,
故选：B.
7．答案：C
解析：由图可知：
图①中有2个黑色正方形,
图②中有个黑色正方形,
图③中有个黑色正方形,
图④中有个黑色正方形,
图⑤中有个黑色正方形,
图⑥中有个黑色正方形,
图⑦中有个黑色正方形,
图⑧中有个黑色正方形,
故选C.
8．答案：A
解析：连接,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
是的切线,
,
,
,
故选：A.
9．答案：C
解析：连接,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
∴
∵由旋转得,
∴,
∴,
∴,
由旋转可得,即,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴.
故选：C.
10．答案：C
解析：选择改变第一和第二个加号：；
选择改变第一和第三个加号：；
选择改变第一和第四个加号：；
选择改变第一和第五个加号：；
选择改变第二和第三个加号：；
选择改变第二和第四个加号：；
选择改变第二和第五个加号：；
选择改变第三和第四个加号：；
选择改变第三和第五个加号：；
选择改变第四和第五个加号：；
由以上可得,所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果,故②说法正确；
所有可能的“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种,故③说法正确；
对于运算结果和,两式子相加可得
,当满足时,两式相加的结果为0,故①说法错误；
故选：C.
11．答案：/
解析：,
故答案为：.
12．答案：/36度
解析：设这个正多边形为正n边形,由题意得,
,
解得,
即这个正多边形是正十边形,
所以它的每一个外角为,
故答案为：.
13．答案：
解析：画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中小明和小红都没有抽到蓝球的结果有2种,
小明和小红都没有抽到蓝球的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意得,,
故答案为：.
15．答案：
解析：连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴,
过D作于H,则,
∵,
∴,
∴
,
故答案为：.
16．答案：/
解析：平分,
到、的距离相等,设这个距离是x,
四边形是矩形,
,,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∵,
,
,
,
.
故答案为：.
17．答案：4
解析：,
由①得：,
由②得：,
∴不等式组的解集为,
∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵关于y的分式方程有非负整数解,
∴,即或2或4或6,
∵
解得：或1或3,
∵,
∴,
∴,
∴满足条件的整式a的值为：3或1,
∴所有满足条件的整数a的值之和是：,
故答案为：4.
18．答案：4；
解析：,
,.
,
是一个完全平方数,
,
,
,；
∵
∴(舍),21,28(舍),35(舍)
∴,
,,(舍),
∴
∴.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
20．答案：(1)图见解析
(2)①；②；③；④
解析：(1)根据尺规作图,画图如下：
则即为所求.
(2)证明：四边形是正方形
平分,,.
.
在和中,
.
,,
又,
,
,
.
,且
.
,
.
.
.
故答案为：；；；.
21．答案：(1)30,48,50
(2)1班学生的知识竞答成绩较好,理由见解析
(3)该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人.
解析：(1)由题意得,,故；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别是48,48,故中位数；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50,故众数.
故答案为：30,48,50；
(2)1班的学生知识竞答成绩较好,理由如下：
因为两个班的平均数相同,但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高,所以1班的学生知识竞答成绩较好；
(3),
(人),
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人.
22．答案：(1)购买半盔型12个,全盔型8个
(2)
解析：(1)设购买半盔型x个,则全盔型个.
由题意得：,
解得
故半盔型12个,全盔型为：.
答：购买半盔型12个,全盔型8个.
(2)第二批半盔型涨价后,一个半盔型的获利为,
全盔型降价后,一个全盔型的获利为,
根据题意可得,
解得：
经检验,为原方程的解,且符合题意.
故.
23．答案：(1)
(2)见解析,当时,y随x的增大而减小
(3)或
解析：(1)∵矩形,
∴,,
由勾股定理得,,
当时,P在上,,则,
∴；
当时,P在上,,
如图1,过P作于H,则,
∴,
∴,即,
解得,,
∴,
综上,；
(2)作函数图象,如图2,
由图象可知,当时,y随x的增大而减小；
(3)由题意知,令,
解得,,
∴此时；
令,
解得,,
∴此时；
综上所述,或.
24．答案：(1)154米
(2)若两条线路的校友同时出发,预计线路二的校友先到操场
解析：(1)延长交于点M,如图所示：
由题中方位可知,,
,
是等腰直角三角形,
,
设,则,
在中,,则,即,由勾股定理可得,
,解得,
在中,由勾股定理可得,
答：的长度为154米；
(2)过点B作于点N,如图所示：
在中,,则,
,由勾股定理可得,
由题中方位可知,,
,,
四边形是矩形,
,,
走完线路一所用时间为(分钟)；走完线路二所用时间为(分钟)；
,
答：若两条线路的校友同时出发,预计线路二的校友先到操场.
25．答案：(1)
(2)最大值,
(3)存在,或
解析：(1)由题意得：,
解得：,
拋物线的解析式为：；
(2)如图,过点B作,交y轴于点F,
,,,
,
,,
是等腰直角三角形,
,
也是等腰直角三角形,
在中,令,则,
或,
,
,
也是等腰直角三角形
,
,
,,,
,
,
,
设直线的解析式为,
将点,代入得：,
解得：,
直线的解析式为,
设点,,则,
,,
当时,由最大值,最大值为,
取得最大值,此时；
(4)存在点T,使得,理由如下：
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度,,,
∴,,
∴,
∴抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得到新抛物线,
,
∴,
如图,当点T在x轴下方时,延长交于点Q,过点T作轴,垂足为R,
,,
,,
,
,
,
设,则,
,,
,,
,即,
整理得：,
解得：或(与点N重合,舍去),
；
如图,当点T在x轴上方时,过点T作轴,垂足为K,
同理得,
,,
,
,
设,则,
,即,
整理得：
解得：或(与点N重合,舍去),
；
综上,点T的坐标为或.
26．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)过点D作,
∵,,
∴,
∴是等腰直角三角形,
设,
则由勾股定理得：,
解得：,
∴,
在中,,
∴,
同理在等腰中,由勾股定理得,
∴；
(2)过点R作交的延长线于点N,
∵,,
∵点D是的中点,
∴平分,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
在中,,,
∴,
在和中,
∴,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∴
在中,,
∴,
∴.
(3)连接,
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到,将沿所在直线翻折至所在平面内得到,
∴可得
∴,
∵以为直角边作等腰,
∴,
∴
在等腰中,,在等腰中,,
∴,
∴,
∵,
∴
当点B、C、P三点共线时,取得最小值,
过点O作,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴设,则,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∵,
∴,
∴,
∴设,,
由翻折得,,而,,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴,
∴.
平均数
中位数
众数
1班
47.5
48.5
c
2班
47.5
b
49