2025版高考物理一轮复习微专题小练习磁场专题65带电粒子在有界匀强磁场中的运动

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1．如图所示，虚线上方存在垂直纸面的匀强磁场(具体方向未知)，磁感应强度大小为B，一比荷为k的带负电粒子由虚线上的M点垂直磁场射入，经过一段时间该粒子经过N点(图中未画出)，速度方向与虚线平行向右，忽略粒子的重力．则下列说法正确的是( )
A．磁场的方向垂直纸面向外
B．粒子由M运动到N的时间为 eq \f(π,6kB)
C．如果N点到虚线的距离为L，则粒子在磁场中圆周运动半径为2L
D．如果N点到虚线的距离为L，则粒子射入磁场的速度大小为kBL
答案：C
解析：根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示
根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，A错误；粒子由M运动到N时速度方向改变了60°，所以粒子在该段时间内运动轨迹对应的圆心角为α＝60°，则粒子由M到N运动的时间为t＝ eq \f(1,6) T，又粒子在磁场中的运动周期为T＝ eq \f(2πm,qB) ，整理得t＝ eq \f(π,3kB) ，B错误；如果N点到虚线的距离为L，根据几何关系有cs α＝ eq \f(R－L,R) ，解得R＝2L，又R＝ eq \f(mv,qB) ，代入数据解得v＝2kBL，D错误，C正确．
2．[2024·安徽省合肥市期末考试]如图所示，在正方形abcd区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子从a点沿ab方向射入磁场中，当入射速度大小小于或等于v时，粒子在该磁场区域运动时间最长，且最长时间为t.若其他条件均不变，当入射粒子的速度大小为4v时，则该粒子在磁场中的运动时间为( )
A． eq \f(t,2) B． eq \f(t,3)
C． eq \f(t,4) D． eq \f(t,6)
答案：D
解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m eq \f(v2,r) ，qvB＝m eq \f(4π2,r2) T，整理有r＝ eq \f(mv,qB) ，T＝ eq \f(2πm,qB) ，从a点沿ab方向进入磁场中的粒子，在磁场中运动的最长时间为半个周期，对应的最大半径是正方形边长的一半，即速度是v时，粒子做圆周的半径等于正方形边长的一半，从d点射出磁场．圆心角是π，根据 eq \f(t,T) ＝ eq \f(π,2π) ，整理有t＝ eq \f(T,2) ，当入射速度是4v时，由上述公式可知周期不变，半径变为原来的4倍，即是正方形边长的两倍，粒子将从bc边离开磁场，利用几何知识可知，对应的圆心角是 eq \f(π,6) ，由上述分析有 eq \f(t′,T) ＝ eq \f(\f(π,6),2π) ，整理有t′＝ eq \f(T,12) ＝ eq \f(1,6) t，D正确．
3．(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量m＝5.0×10－8kg、电荷量q＝1.0×10－6C的带正电粒子以20 m/s的速度从P点沿图示方向进入磁场，速度方向与y轴负方向之间的夹角为37°，已知OP＝40 cm，不计带电粒子的重力，sin 37°＝0.6，若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B可能的取值为( )
A．2 TB．3 T
C．4 TD．5 T
答案：CD
解析：带电粒子恰好不能进入x轴上方时粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系得
OP＝R＋R sin 37°，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m eq \f(v2,R) ，联立解得B＝4 T．若粒子不能进入x轴上方，磁感应强度需满足B≥4 T，C、D正确．
4．(多选)如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0大小可能为( )
A． eq \f(qBd,8m) B． eq \f(3qBd,4m) C． eq \f(qBd,m) D． eq \f(3qBd,2m)
答案：BC
解析：若粒子恰好打到板左端，由几何关系可得r1＝ eq \f(d,4) ，由洛伦兹力作为向心力关系可得qBv1＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,r1) ，解得v1＝ eq \f(qBd,4m) ，若粒子恰好打到板右端，由几何关系可得r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝d2＋(r2－ eq \f(d,2) )2，解得r2＝ eq \f(5d,4) ，由洛伦兹力提供向心力得qBv2＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r2) ，解得v2＝ eq \f(5qBd,4m) ，粒子打到板上，则初速度v大小范围是 eq \f(qBd,4m) ≤v0≤ eq \f(5qBd,4m) ，B、C正确．
5．[2024·黑龙江省肇东市期末考试]如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC、DE是圆的两条互相垂直的直径，质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从A点沿纸面与AC成45°斜向上射入磁场后，恰好从D点离开，不计粒子受到的重力，则粒子射入磁场时的速度大小为( )
A． eq \f(\r(2)qBR,4m) B． eq \f(\r(2)qBR,2m)
C． eq \f(\r(2)qBR,m) D． eq \f(2qBR,m)
答案：B
解析：粒子从A点沿纸面与AC成45°斜向上射入磁场后，恰好从D点离开，可知轨迹圆心在AD中点处，由几何关系可得r＝ eq \f(\r(2),2) R，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m eq \f(v2,r) ，解得v＝ eq \f(\r(2)qBR,2m) ，B正确．
6．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场．一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场．已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a.不计重力．根据上述信息可以得出( )
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
答案：A
解析：粒子恰好垂直于y轴射出磁场，
做两速度的垂线交点为圆心O1，轨迹如图所示．
由几何关系可知OO1＝a tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) a，R＝ eq \f(a,cs 30°) ＝ eq \f(2\r(3),3) a，因圆心的坐标(0， eq \f(\r(3),3) a)，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋(y－ eq \f(\r(3),3) a)2＝ eq \f(4,3) a2，A正确；洛伦兹力提供向心力，设磁感应强度为B，有qvB＝m eq \f(v2,R) ，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝ eq \f(qBR,m) ，因轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，B、D错误；带电粒子做圆周运动的圆心角为 eq \f(2,3) π，而周期为T＝ eq \f(2πR,v) ＝ eq \f(2πm,qB) ，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝ eq \f(\f(2,3)π,2π) T＝ eq \f(2πm,3qB) ，因磁感应强度B未知，则运动时间无法求得，C错误．
7．[2024·甘肃省兰州市月考]中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变．其简化模型如图所示，半径为R和 eq \r(3) R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核( eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) H)和氘核( eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内．则氕核在磁场中运动的半径最大为( )
A． eq \f(\r(3),6) R B． eq \f(\r(3),3) R
C． eq \f(2\r(3),3) R D．( eq \r(3) －1)R
答案：A
解析：依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m eq \f(v2,r) 得r＝ eq \f(mv,qB) ，由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2.当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得( eq \r(3) R－rmax)2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(max)) ＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝ eq \f(\r(3),3) R，氕核在磁场中运动的最大半径为r′max＝ eq \f(1,2) rmax＝ eq \f(\r(3),6) R，A正确．
8.
(多选)如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷 eq \f(q,m) ＝ eq \f(1,k) ，则质子的速度可能为( )
A． eq \f(BL,k) B． eq \f(BL,2k) C． eq \f(2BL,3k) D． eq \f(BL,8k)
答案：ABD
解析：质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运动半径为r＝ eq \f(L,n) (n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m eq \f(v2,r) ，解得v＝ eq \f(qBr,m) ＝ eq \f(BL,kn) (n＝1，2，3，…)，故A、B、D正确，C错误．
9.
(多选)如图所示，三个半径均为R的圆形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，圆形区域两两相切，圆心分别为O1、O2、O3，三个圆形区域内均存在垂直纸面的匀强磁场，其中区域Ⅰ、Ⅲ内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为B0，一粒子以速度v0沿O1O3方向从区域Ⅰ边界进入磁场，通过三个区域后沿O1O3方向从区域Ⅲ边界射出，已知粒子电量为q，质量为m，不考虑重力，则以下说法正确的是( )
A．区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向里
B．区域Ⅱ磁感应强度大小为3B0
C．粒子从进入磁场到离开磁场所用时间为 eq \f(8πm,9qB0)
D．粒子在区域Ⅱ中轨道半径是在区域Ⅰ中轨道半径的3倍
答案：BC
解析：根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示．
粒子沿O1O3方向从区域I边界进入磁场，通过三个区域后沿O1O3方向从区域Ⅲ边界射出，根据左手定则，可知区域Ⅱ磁感应强度方向垂直纸面向外，A项错误；三圆心构成等边三角形，可知粒子在区域Ⅰ、Ⅲ内各转过60°角，由几何关系得tan 30°＝ eq \f(R,r1) ，在区域Ⅱ转过120°角，由几何关系有tan 60°＝ eq \f(R,r2) ，解得 eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(tan 60°,tan 30°) ＝3，D项错误；由洛伦兹力提供向心力得轨道半径r＝ eq \f(mv0,qB) ，所以 eq \f(B,B0) ＝ eq \f(r1,r2) ＝3，即B＝3B0，B项正确；粒子在区域Ⅰ、Ⅲ中的运动周期相等，T1＝ eq \f(2πm,qB0) ，粒子在区域Ⅱ中的周期T2＝ eq \f(2πm,qB) ＝ eq \f(2πm,3qB0) ，粒子从进入磁场到离开磁场所用时间t＝2 eq \f(T1,6) ＋ eq \f(T2,3) ＝ eq \f(8πm,9qB0) ，C项正确．
10．[2024·河南省开封市模拟]虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速度从O点右侧距离为L的A点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力．则粒子在磁场中做圆周运动的半径为( )
A． eq \f(L,3) B． eq \f(L,2)
C．2L D．3L
答案：A
解析：轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于O′A＝O′D＝r，故△AO′D为等边三角形，则∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直线，则OD＝ eq \f(CD,sin 30°) ＝4r＝L＋r，解得r＝ eq \f(L,3) ，A正确，B、C、D错误．
11．[2024·浙江省台州市月考]如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一系列带正电的粒子以不同的速率从O点沿垂直于磁场方向且与ON成30°角方向射入磁场．已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，重力不计，不考虑带电粒子间的相互作用力．
(1)求带电粒子能从半圆形磁场边界的圆弧部分射出，粒子速率应满足的条件；
(2)若带电粒子恰好从P点射出磁场，求带电粒子的速率及其在磁场中的运动时间；
(3)若带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，求带电粒子的速率．
答案：(1)v> eq \f(qBR,2m) (2) eq \f(\r(3)qBR,3m) eq \f(2πm,3qB) (3) eq \f(（\r(2)＋\r(6)）qBR,2m)
解析：(1)如图所示，带电粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时恰不从磁场圆弧部分边界射出，设此时粒子速度大小为v1，轨道半径为r1，根据几何知识，有r1＝ eq \f(R,2)
根据洛伦兹力提供向心力，有qv1B＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,r1)
解得v1＝ eq \f(qBR,2m)
所以带电粒子速率应满足的条件是v> eq \f(qBR,2m)
(2)如图所示，带电粒子恰好从P点离开磁场时，设粒子速度大小为v2，轨道半径为r2根据几何知识，有r2· eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(R,2)
根据洛伦兹力提供向心力，有qv2B＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r2)
解得v2＝ eq \f(\r(3)qBR,3m)
带电粒子做圆周运动转过的圆心角为 eq \f(2π,3) ，带电粒子做圆周运动的周期
T＝ eq \f(2πR,v) ＝ eq \f(2πm,qB)
带电粒子在磁场中的运动时间t＝ eq \f(1,3) T＝ eq \f(2πm,3qB)
(3)带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，设此带电粒子的速度大小为v3，轨道半径为r3，根据正弦定理，有 eq \f(r3,sin 75°) ＝ eq \f(R,sin 30°)
根据洛伦兹力提供向心力，有qv3B＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,r3)
解得v3＝ eq \f(（\r(2)＋\r(6)）qBR,2m) .