初中人教版24.2.1 点和圆的位置关系练习题

这是一份初中人教版24.2.1 点和圆的位置关系练习题，共26页。试卷主要包含了点和圆的位置关系，三点定圆的方法，三角形的外接圆等内容，欢迎下载使用。

知识点一 点和圆的位置关系
知识点二 三点定圆的方法
经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
典例及变式

典例1．（2024·宁波市镇海区九年级期中）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
【答案】B
【详解】
解：根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定,由题目可求出点到圆心的距离d=OA=5,
∵d6.
故选B.
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
变式2-3．（2024·厦门市九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3B．r＞4C．0＜r＜5D．r＞5
【答案】D
【提示】
先利用勾股定理计算出OP=5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．
【详解】
∵点P的坐标为（3，4），∴OP=32+42=5．
∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞5．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
典例3．（2024·江苏九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A−3,0、点B−1,2、点C3,2．则△ABC的外心的坐标是（ ）
A．0,−1B．0,0C．1,−1D．
【答案】D
【提示】
根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
∵△ABC的外心P到△ABC三个顶点的距离相等，
∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图，
由图可知，点P的坐标为，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键．
变式3-1．（2024·宁波市期末）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，）B．（4，3）C．（5，）D．（5，3）
【答案】A
【提示】
根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【详解】
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为5−136=176，
因此圆心的坐标为（4，176）.
故选A
典例4（2024·山西九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90° ,AC=8,BC=6，则它的外接圆的面积为（ ）
A．B．10πC．25πD．100π
【答案】C
【提示】
由Rt△ABC中，∠C=90° ,AC=8,BC=6，可知，直角三角形的外接圆的半径为5，进而求出圆的面积.
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90° ,AC=8,BC=6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∴直角三角形的外接圆的直径=10，即：面积=π×52=25π，
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查直角三角形的外接圆的面积，掌握直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边，是解题的关键.
变式4-1．（2024·浙江宁波市期末）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．1B．2.4C．2.5D．5
【答案】C
【提示】
根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，斜边为外接圆直径，即可求得半径.
【详解】
∵32+42=52
∴三角形为直角三角形，其外接圆直径为5，故其半径为2.5
故选：C
【名师点拨】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边是关键.
变式4-2．（2024·广东九年级期末）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．2B．22−2C．2−2D．2—1
【答案】B
【解析】
【提示】
由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【详解】
解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22，
∴它的内切圆半径为：R=12（22+22-4）=22-2．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=12（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=12c．
变式4-3．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4B．3.25C．3.125D．2.25
【答案】C
【提示】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x=258=3.125．
故选C．
【名师点拨】
本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
典例5．（2024·浙江绍兴市·九年级期末）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．△AEDB．△ABDC．△BCDD．△ACD
【答案】D
【提示】
根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】
答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
【名师点拨】
此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
变式5-1．（2024·河北秦皇岛市·九年级期末）过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内B．三角形上C．三角形外D．以上都有可能
【答案】C
【提示】
根据过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，再利用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形外心位置不同得出答案.
【详解】
过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，
当过锐角三角形三个顶点，圆心在三角形内部；
当过直角三角形三个顶点，圆心在三角形斜边上；
当过钝角三角形三个顶点，圆心在三角形外部.
故选：C.
【名师点拨】
此题主要考查了三角形的外心位置确定的应用，根据三角形形状不同得出不同的结论是解题关键.
变式5-2．（2024·南通市期末）如图的4×4的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）
A．ΔACD的外心B．ΔABC的外心C．ΔACD的内心D．ΔABC的内心
【答案】B
【提示】
连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.
【详解】
连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，
∴OA=32+22=13，
OB=32+22=13，
OC=32+22=13，
OD=22+12=5，
∵OA=OB=OC=13，
∴O为△ABC的外心，
故选B.
【名师点拨】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.
典例6．（2024·山东济南市·九年级期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
【答案】B
【提示】
根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.
【详解】
由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
【名师点拨】
本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
变式6-1．（2024·南京市九年级期中）如图2，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、−2），则△ABC外接圆的圆心坐标是
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【答案】D
【详解】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
变式6-2．（2024 温州市期末）如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点PB．点QC．点RD．点M
【答案】B
【提示】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
1．（2024·江苏苏州市·九年级期末）⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
【答案】A
【提示】
由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案．
【详解】
∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
【名师点拨】
此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2024·山东省济南市九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．0,0B．1,0C．−2,−1D．2,0
【答案】C
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
3．（2024·天津河西区·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【提示】
根据确定圆的条件依次判断即可．
【详解】
解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查确定圆的条件．注意过三点确定一个圆，要画一个圆需要知道它的圆心和半径．
4．（2024·江苏九年级期末）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【提示】
根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
5．（2024·湖北襄阳市·九年级期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（ ）
A．点M在⊙C上．B．点M在⊙C内
C．点M在⊙C外．D．点M与⊙C的位置关系不能确定．
【答案】C
【提示】
利用勾股定理求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CM，然后根据点与圆的位置关系的判断方法即可得出结论．
【详解】
解：如图所示
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=AC2+BC2=5
∵M是AB的中点，
∴CM=12AB=52＞1
∴点M在⊙C外
故选C．
【名师点拨】
此题考查的是点与圆的位置关系，掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
6．（2024·浙江九年级期末）已知⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）.
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
【答案】A
【提示】
欲求点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离d，再与半径8cm进行比较.若dr，则点在圆外.
【详解】
解：∵圆的半径是4 cm，点A和圆心的距离为3 cm，
∵4 cm＞3 cm，
∴点A在圆内，
故选A.
【名师点拨】
本题主要考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键.
7．（2024·浙江杭州市·九年级期末）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则（ ）
A．a10B．2