高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题(精练)(原卷版+解析)

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【题型一 三角形中的外接圆问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝eq \f(π,3)，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________．
2.(2023·全国·高三专题练习）已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）求的周长的最大值．
3．(2023·全国高三单元测试）已知三角形两边长分别为1和eq \r(3)，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）csA＝acsC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
5．(2023·全国高三课时练习）在外接圆半径为eq \f(1,2)的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则b＋c的最大值是( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．3 D．eq \f(\r(3),2)
6．(2023·山东潍坊高三期末）在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型二 解三角形中的内切圆问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
2.(2023·山东济南·高三期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求的内切圆半径．
3．(2023·河南·高三期中）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）．已知中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）若，且，求的内切圆半径.
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．
（1）求边BC的长；
（2）求△ABD内切圆半径．
4.7 解三角形中的内切圆、外接圆问题
【题型解读】
【题型一 三角形中的外接圆问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝eq \f(π,3)，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________．
答案： eq \f(\r(3),2)
【解析】由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，得a＝eq \r(3)，sinB＝eq \f(1,2)，∵a>b，∴A>B，∴B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)．
2.(2023·全国·高三专题练习）已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）求的周长的最大值．
答案：（1）；（2）
【解析】解：（1）由已知，
由正弦定理，
得，
由正弦定理角化边得，
则，又
所以；
（2）的周长
，
，，
，，
即的周长的最大值为.
3．(2023·全国高三单元测试）已知三角形两边长分别为1和eq \r(3)，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________．
答案：1
【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝eq \r(3)，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cs∠ADB＝eq \f(x2＋1－1,2x)＝eq \f(x,2)，在△BDC中，cs∠BDC＝eq \f(x2＋1－3,2x)＝eq \f(x2－2,2x)，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cs∠ADB＝－cs∠BDC，∴eq \f(x,2)＝－eq \f(x2－2,2x)，∴x＝1，∴∠A＝60°，由eq \f(\r(3),sin 60°)＝2R，得R＝1．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）csA＝acsC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
答案：（1）A（2）．
【解析】（1）∵（2b﹣c）csA＝acsC，
∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）csA＝sinAcsC，
可得：2sinBcsA＝sinAcsC+sinCcsA＝sinB，
∵sinB≠0，∴csA，∵0＜A＜π，∴A，
（2）∵△ABC的外接圆面积为π，
∴△ABC的外接圆半径为1，∵，∴a，
∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴bc≤3，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABCbcsinA，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABC的最大值为．
5．(2023·全国高三课时练习）在外接圆半径为eq \f(1,2)的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则b＋c的最大值是( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．3 D．eq \f(\r(3),2)
答案： A
【解析】根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－
2bccs A，所以cs A＝－eq \f(1,2)，A＝120°．因为△ABC外接圆半径为eq \f(1,2)，所以由正弦定理得b＋c＝sin B·2R＋sin C·2R＝sin B＋sin(60°－B)＝eq \f(1,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＝sin(B＋60°)，故当B＝30°时，b＋c取得最大值1．
6．(2023·山东潍坊高三期末）在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
答案：条件选择见解析；.
【解析】解：因为，
所以
解得或舍去，
所以在中.
因为所以
所以由余弦定理得
又所以即，
所以为等边三角形.
因为
所以在中，由余弦定理得
选择条件①：由的外接圆面积为得
所以所以故.
选择条件②：由的面积为，
得的面积为，
所以解得故.
选择条件③：由的周长为，
得
所以故.
【题型二 解三角形中的内切圆问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
答案：eq \f(27π,5)
【解析】不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(122＋122－62,2×12×12)＝eq \f(7,8)，∴sinA＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))2)＝eq \f(\r(15),8)．由eq \f(1,2)(a＋b＋c)r＝eq \f(1,2)bcsin A，得r＝eq \f(3\r(15),5)．∴S内切圆＝πr2＝eq \f(27π,5)．
2.(2023·山东济南·高三期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求的内切圆半径．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，得；
（Ⅱ）因为，，，
由余弦定理可得，所以，则，
所以，
设的内切圆半径为，
则，所以.
3．(2023·河南·高三期中）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.
答案：（1）；（2）
【解析】（1）由得，，
由正弦定理得，，
所以，
又，，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，所以，
当且仅当时取等号.
所以，，
所以当且仅当时，时的面积的最大值为.
设的内切圆半径为，
则，
所以.
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）．已知中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）若，且，求的内切圆半径.
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由
得，即
，即
又，
或(舍去)
（2）由，得，
，
，
，，.
因为，可知
有内切圆半径
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．
（1）求边BC的长；
（2）求△ABD内切圆半径．
答案：（1）4；（2）
【解析】（1）设，
在中利用余弦定理得到：
，
解得，则
（2）在中，利用余弦定理得到：
，，

又
即
解得