第06讲 完全平方公式（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第06讲 完全平方公式（核心考点讲与练）
【知识梳理】
完全平方公式
【核心考点精讲】
一．完全平方公式（共6小题）
1．（2019秋•长宁区校级月考）简便计算：（﹣99.9）2．
2．（2020秋•浦东新区期中）计算：（2x+1）2﹣（x+2）2．
3．（2019秋•宝山区期末）计算：（x﹣y+1）2．
4．（2018秋•松江区校级月考）已知（a﹣b）2＝3，（a+b）2＝6，求ab的值．
5．（2019秋•静安区校级月考）已知：x2+y2＝2，xy＝﹣，求代数式：
（1）（x﹣y）2．
（2）x4+y4．
6．（2019秋•长宁区校级月考）若a+b＝2，a2+b2＝3，
求（1）ab的值；
（2）a4+b4的值．
二．完全平方公式的几何背景（共4小题）
7．（2022春•碑林区校级月考）数学课上，老师准备了一张边长为a的正方形卡纸，如图所示．并在它的角上剪去一个边长为b的小正方形．
（1）你认为利用下图可以验证的公式为 ；
（2）请利用图形写出（1）中公式的推导过程；
（3）请你利用上述公式计算（22+42+62+82+102）﹣（12+32+52+72+92）．
8．（2021秋•浦东新区校级月考）如图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（用含有m，n的代数式表示）
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．（用含有m，n的代数式表示）
方法1： ；
方法2： ．
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）已知m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值．
9．（2022春•拱墅区期中）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝ S2＝ ，S3＝ ．
（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
10．（2022春•本溪期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ．
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【过关检测】
一．选择题（共4小题）
1．（2019秋•虹口区期中）如图1，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法不正确的是（ ）
A．图2所示的长方形是正方形
B．图2所示的长方形周长＝2m+2n
C．阴影部分所表示的小正方形边长＝m﹣n
D．阴影部分所表示的小正方形面积＝
2．（2019秋•松江区期中）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a+1）（﹣a+1）B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b）D．（a﹣b）（a+b）
3．（2018秋•崇明区期中）教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca作说明，那么其中用来表示b2的是（ ）
A．区域①的面积B．区域⑤的面积
C．区域⑥的面积D．区域⑧的面积
4．（2020秋•奉贤区期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝bC．a＞bD．无法判断
二．填空题（共6小题）
5．（2021春•黄浦区校级月考）计算：（x+y）2﹣x2＝ ．
6．（2021秋•浦东新区期中）计算：（﹣3a﹣2b）2＝ ．
7．（2022•嘉定区二模）计算：（x+1）2﹣x2＝ ．
8．（2020秋•普陀区期末）计算：（﹣2x﹣y）2＝ ．
9．（2021秋•奉贤区期中）如果（a+ ）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是 ．（只需填写一个）
10．（2021春•虹口区校级期末）若2m⋅2n＝16，则4（m+n）2＝ ．
三．解答题（共14小题）
11．（2020秋•普陀区期末）计算：（x+3y）（x﹣2y）﹣（2x+y）2．
12．（2020秋•黄浦区期末）已知a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）a﹣b．
13．（2021秋•普陀区期中）已知x+y＝5，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）的值．
14．（2021秋•普陀区期中）解方程：（4x+1）2＝（4x﹣1）（4x+3）﹣3（x+2）．
15．（2021秋•金山区期中）计算：（a﹣2b﹣1）2．
16．（2021秋•松江区期中）计算：（a﹣2b+1）2．
17．（2020秋•嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
18．（2021秋•长宁区校级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．
19．（2020秋•松江区期末）计算：（x﹣2y）（x+3y）+（x﹣y）2．
20．（2021春•高州市月考）已知x2+y2＝25，x+y＝7，且x＞y，求x﹣y．
21．（2017秋•松江区期中）我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．例如：沿图1长方形中的虚线平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ．方法② ；
（2）观察图2请你写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式 ．
（3）请写出图3（或图4）中所表示的代数恒等式 ；
（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
22．（2018秋•浦东新区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？
23．（2018秋•徐汇区校级月考）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中
A型：边长为a厘米的正方形；
B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；
C型：边长为1厘米的正方形．
（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；
①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为 平方厘米，这个大正方形的边长为 厘米；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）
（2）A型12块，B型12块，C型4块．从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 ．
24．（2017秋•闵行区校级月考）如图，有一个大正方形ABCD，两个小正方形AEFG、FHCM，两个长方形BHFE、DGFM．用a、b的代数式完成下列填空：
（1）大正方形ABCD的边长是 ，面积是 ；
（2）两个小正方形AEFG、FHCM的面积和是 ；
（3）两个长方形BHFE、DGFM的面积和是 ；
（4）由（1），（2），（3）可得（a+b）2＝ ；
（5）根据（4）的结论计算：（x+25）2．