2.5一元二次方程跟与系数的关系 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.5一元二次方程跟与系数的关系北师大版初中数学九年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若α，β是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，则βα+αβ的值是(    )A. 427 B. −427 C. −5827 D. 58272.已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为(    )A. −12 B. 2 C. 12 D. −23.已知m，n是一元二次方程x2+2x−2022=0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于(    )A. 2024 B. 2022 C. 2020 D. 20184.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，则ab−mn的值为(    )A. 4 B. 1 C. −2 D. −15.关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是(    )A. a≤1 B. a≤1且a≠0 C. a取一切实数 D. a0)的两个根分别为x1，x2，若t=x1+x2m，则t的最大值是(    )A. −2 B. −1 C. 1 D. 27.已知：关于x的方程x2+m(1−x)−2(1−x)=0，下面结论中正确的是(    )．A. m不能为零，否则方程没有实数根B. m为任何实数时，方程都有实数根C. 当20)的两实数根为x1、x2，∴x1+x2=m−4，∴t=x1+x2m=m−4m=1−4m，∵关于x的一元二次方程x2−(m−4)x+14m2=0有实数根，∴Δ=[−(m−4)]2−4×1×14m2=−8m+16≥0，解得：m≤2，∵m>0，∴00，此时方程有两个不相等的解，故本选项错误；B.b2−4ac=(−m+2)2−4×1×(m−2)=m2−8m+12=(m−4)2−4≥0，∴说m为任何实数时，方程都有实数解不对，故本选项错误；C.(m−4)2−4≥0，∴20时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，解得m0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)根据根与系数的关系结合1x1+1x2=−1找出关于k的分式方程．根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2k−3、x1x2=k2，结合1x1+1x2=−1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k+3)2−4k2>0，解得：k>−34．∵x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根，∴x1+x2=−2k−3，x1x2=k2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−(2k+3)k2=−1，解得：k1=3，k2=−1，经检验，k1=3，k2=−1都是原分式方程的根．又∵k>−34，∴k=3．故答案为3．16.【答案】−1 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△>0的条件．先整理成一般形式，求出m0，解得m0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ0，∴k=1． 【解析】根据题意知，当关于x的方程x2+kx−12=0与3x2−8x−3k=0有一个公共根时，构建方程组解决问题即可．本题考查根的判别式，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．20.【答案】【小题1】∵方程有两个实数根，∴b2−4ac=[−(2k+1)]2−4(k2+2k)=1−4k≥0，解得k≤14【小题2】不存在  理由：假设存在实数k，使得x1x2−x1−x22≥0成立．∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k.∵x1x2−x1−x22≥0，即x1x2−x12−x22≥0，∴3x1x2−(x1+x2)2≥0，即3(k2+2k)−(2k+1)2≥0.整理，得(k−1)2≤0.∴k=1.由(1)，知k≤14，∴不存在实数k，使得x1x2−x1−x22≥0成立． 【解析】1. 见答案2. 见答案21.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，∴b2−4ac=1−4×(m−1)×1=5−4m≥0，解得：m≤54，又m−1≠0，即m≠1，∴m≤54且m≠1；(2)当m=0时，方程为−x2+x+1=0，解得：x=1± 52． 【解析】(1)由方程有两个相等的实数根得Δ=b2−4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；(2)由(1)知m=0，得出方程，公式法求解可得．本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义、解一元二次方程的能力，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵在方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0中，△=b2−4ac=[−(2k+3)]2−4(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x2−(2k+3)x+k2+3k+2=(x−k−1)(x−k−2)=0，∴x1=k+1，x2=k+2．①不妨设AB=k+1，AC=k+2，∴斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即(k+1)2+(k+2)2=25，解得：k1=2，k2=−5(舍去)．∴当k=2时，△ABC是直角三角形②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，故有两种情况：(Ⅰ)当AC=BC=5时，k+2=5，∴k=3，AB=3+1=4，∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为4+5+5=14；(II)当AB=BC=5时，k+1=5，∴k=4，AC=k+2=6，∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为6+5+5=16．综上可知：当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16． 【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△>0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1>0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；(2)利用分解因式法可求出x1=k+1，x2=k+2.①不妨设AB=k+1，AC=k+2，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据(1)结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．23.【答案】解：(1)x2−2x−8=0，(x−4)(x+2)=0，x−4=0或x+2=0，解得x1=4，x2=−2；(2)∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x−1=0有实数根，∴m−2≠0且32−4×(m−2)×(−1)≥0，解得m≥−14且m≠2，故m的取值范围为：m≥−14且m≠2． 【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；(2)根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0，∴关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0总有两个不相等的实数根；(2)解：设方程的两个根分别为s、2s，∴s+2s=2ms⋅2s=m2−1,∴s=23m，∴2×23m2=m2−1，∴89m2=m2−1，解得m=±3，又∵m>1，∴m=3． 【解析】【分析】(1)利用根的判别式进行证明即可；(2)设方程的两个根分别为s、2s，利用根与系数的关系得到s+2s=2ms⋅2s=m2−1，由此建立关于m的方程求解即可．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．