高考数学第一轮复习复习第3节　三角恒等变换（讲义）

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1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β;
(2)cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β;
(3)sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β;
(4)sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β;
(5)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
(6)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
2.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcs α;
(2)cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=2tanα1-tan2α.
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;π4+α=π2-(π4-α)等.
2.辅助角公式
asin α+bcs α=a2+b2sin(α+),其中cs =aa2+b2,sin =ba2+b2.
3.万能公式
sin α=2tan α21+tan2α2,cs α=1-tan2α21+tan2α2,tan α=2tan α21-tan2α2.
1.(必修第一册P220练习T3改编)sin 20°cs 10°-cs 160°sin 10°等于( D )
A.-32B.32
C.-12D.12
解析:sin 20°cs 10°-cs 160°sin 10°=
sin 20°cs 10°+cs 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.
2.(多选题)下列各式中,值为 32 的是( BCD )
A.2sin 15°cs 15°B.cs215°-sin215°
C.1-2sin215°D.3tan15°1-tan215°
解析:A项,2sin 15°cs 15°=sin 30°=12;
B项,cs215°-sin215°=cs 30°=32;
C项,1-2sin215°=cs 30°=32;
D项,3tan15°1-tan215°=32×2tan15°1-tan215°=32×tan 30°=
32×33=32.
3.2sin47°-3sin17°cs17°等于( D )
A.-3B.-1C.3D.1
解析:原式=2×sin47°-sin17°cs30°cs17°
=2×sin(17°+30°)-sin17°cs30°cs17°
=2sin 30°
=1.
4.若tan(α+π6)=2,则tan(2α-2π3)等于( B )
A.-2-3B.-43
C.2+3D.43
解析:tan(2α-2π3)=tan(2α+π3-π)=
tan(2α+π3)=2tan(α+π6)1-tan2(α+π6)=41-22=-43.
5.tan 10°+tan 50°+3tan 10°tan 50°= .
解析:因为tan 60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50°1-tan10°tan50°,
所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=3-3tan 10°tan 50°,
故原式=3-3tan 10°tan 50°+3tan 10°tan 50°=3.
答案:3
三角函数式的化简
1.化简:315sin x+35cs x= .
解析:315sin x+35cs x
=65(32sin x+12cs x)
=65(sin xcsπ6+cs xsinπ6)
=65sin(x+π6).
答案:65sin(x+π6)
2.若3π2<α<2π,则12+1212+12cs2α可化简为 .
解析:原式=12+1212·2cs2α=12+12|csα|,
因为3π2<α<2π,所以|cs α|=cs α,
所以原式=12+12csα=cs2α2.
又因为3π4<α2<π,所以原式=-cs α2.
答案:-cs α2
3.化简:2cs4x-2cs2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x)= .
解析:原式=12(4cs4x-4cs2x+1)2·sin(π4-x)cs(π4-x)·cs2(π4-x)
=(2cs2x-1)24sin(π4-x)cs(π4-x)
=cs22x2sin(π2-2x)
=cs22x2cs2x=12cs 2x.
答案:12cs 2x
(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的正用,还要熟悉公式的逆用及变形应用.
(2)asin x+bcs x=a2+b2sin(x+),其中的值由a,b的符号及tan =ba确定.
三角函数式的求值
给角求值
[例1] (1)1sin10°-3sin80°= .
(2)3tan12°-3(4cs212°-2)sin12°= .
解析:(1)原式=cs10°-3sin10°sin10°cs10°
=2(12cs10°-32sin10°)sin10°cs10°
=4(sin30°cs10°-cs30°sin10°)2sin10°cs10°
=4sin(30°-10°)sin20°=4.
(2)原式=3sin12°cs12°-32(2cs212°-1)sin12°
=23(12sin12°-32cs12°)cs12°2cs24°sin12°
=23sin(-48°)2cs24°sin12°cs12°=-23sin48°sin24°cs24°
=-23sin48°12sin48°=-43.
答案:(1)4 (2)-43
“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
给值求值
[例2] (1)若cs(π6-α)=13,则cs(2π3+2α)等于( )
A.29B.-29C.79D.-79
(2)已知sin(α-π3)+3cs α=13,则sin(2α+π6)等于( )
A.23B.29C.-19D.-79
解析:(1)因为cs(π6-α)=13,
所以cs(π6-α)=sin[π2-(π6-α)]
=sin(π3+α)=13,
所以cs(2π3+2α)=1-2sin2(π3+α)
=1-29=79.故选C.
(2)因为sin(α-π3)+3cs α=13,
所以sin αcs π3-cs αsin π3+3cs α=13,
所以12sin α-32cs α+3cs α=13,
所以12sin α+32cs α=13,
所以cs(α-π6)=13,
所以sin(2α+π6)=sin[2(α-π6)+π2]
=cs[2(α-π6)]=2cs2(α-π6)-1
=2×(13)2-1
=-79.故选D.
“给值求值”关键在于“变角”,使待求角或已知角相同或具有某种关系.
给值求角
[例3] 已知sin α=255,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β等于( )
A.5π12B.π3C.π4D.π6
解析:因为sin α=255,sin(β-α)=-1010,且α,β均为锐角,所以cs α=55,cs(β-α)=31010,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin α·cs(β-α)+cs αsin(β-α)=255×31010+55×(-1010)=22,所以β=π4.故选C.
“给值求角”实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
[针对训练]
1.若sin α+3cs α=1,且α∈(0,π),则α= .
解析:因为sin α+3cs α=2sin(α+π3)=1,
所以sin(α+π3)=12,又α∈(0,π),
所以(α+π3)∈(π3,4π3),
所以α+π3=5π6,所以α=π2.
答案:π2
2.计算sin235°-12cs10°·cs80°= .
解析:sin235°-12cs10°·cs80°=1-cs70°2-12cs10°·sin10°
=-cs70°2sin10°·cs10°=-sin20°sin20°=-1.
答案:-1
3.cs 20°cs 40°cs 100°= .
解析:cs 20°cs 40°cs 100°
=-cs 20°cs 40°cs 80°
=-sin20°cs20°cs40°cs80°sin20°
=-12sin40°·cs40°·cs80°sin20°
=-14sin80°cs80°sin20°
=-18sin160°sin20°
=-18sin20°sin20°
=-18.
答案:-18
4.若sin(θ+π8)=13,则sin(2θ-π4)= .
解析:因为cs(2θ+π4)=cs[2(θ+π8)]=1-2sin2(θ+π8)=1-2×(13)2=79,cs(2θ+π4)=sin[π2-(2θ+π4)]=sin(π4-2θ)=-sin(2θ-π4)=79,所以sin(2θ-π4)=-79.
答案:-79
三角恒等变换的综合应用
[例4] (2022·河南郑州模拟)已知函数f(x)=4cs xcs(x+π6)-3.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α∈[0,π2],且f(α)=65,求cs 2α.
解:(1)f(x)=4cs xcs(x+π6)-3=
4cs x(32cs x-12sin x)-3=
23cs2x-2sin xcs x-3=
3(2cs2x-1)-2sin xcs x=
3cs 2x-sin 2x=2cs(2x+π6),
令2kπ-π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z),
解得kπ-7π12≤x≤kπ-π12(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-7π12,kπ-π12](k∈Z).
(2)由于α∈[0,π2],且f(α)=65,
而f(α)=2cs(2α+π6)=65,
所以cs(2α+π6)=35,
因为0≤α≤π2,所以π6≤2α+π6≤7π6,
则π6≤2α+π6≤π2,
所以sin(2α+π6)=45,
则cs 2α=cs[(2α+π6)-π6]
=cs(2α+π6)csπ6+sin(2α+π6)sinπ6
=35×32+45×12
=33+410.
(1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y=asin x+bcs x化为y=a2+b2sin(x+),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
[针对训练] 已知函数f(x)=sin(2x-π6)+2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[π3,5π6]时,求f(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin 2xcsπ6-cs 2xsin π6+1-cs 2x=32sin 2x-32cs 2x+1=3sin(2x-π3)+1,
所以T=2π2=π,即f(x)的最小正周期为π.
(2)因为x∈[π3,5π6],所以2x-π3∈[π3,4π3],
所以-32≤sin(2x-π3)≤1,所以-12≤3sin(2x-π3)+1≤3+1,所以f(x)的值域为[-12,3+1].
[例1] 函数f(x)=cs x-sin(x+π6)-sin(x-π6)在[0,π]上的值域为( )
A.[-1,1]B.[-2,1]
C.[-2,2]D.[-12,1]
解析:f(x)=cs x-32sin x-12cs x-32sin x+12cs x=cs x-3sin x=2cs(x+π3).
因为0≤x≤π,所以π3≤x+π3≤4π3,
则当x+π3=π时,函数取得最小值2cs π=-2,当x+π3=π3时,函数取得最大值2cs π3=2×12=1,即函数的值域为[-2,1].故选B.
[例2] 在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,则tan Atan B的值为( )
A.14B.13C.12D.53
解析:因为C=120°,所以tan C=-3.
因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tan C,
所以tan(A+B)=3,tan A+tan B=3(1-tan Atan B),又因为tan A+tan B=233,
所以tan Atan B=13.故选B.
[例3] 已知sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,则
sin(α+β)= .
解析:因为sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,
所以sin2α+cs2β+2sin αcs β=1,①
cs2α+sin2β+2cs αsin β=0,②
①②两式相加可得
sin2α+cs2α+sin2β+cs2β+2(sin αcs β+cs αsin β)=1,
所以sin(α+β)=-12.
答案:-12
[例4] 已知cs(α+π6)=3cs α,tan β=33,则tan(α+β)= .
解析:因为cs(α+π6)=32cs α-12sin α=3cs α,所以-sin α=3cs α,故tan α=-3,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-3+331+3×33=-2332=-33.
答案:-33