河南省洛阳市伊川县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据分母不等于零，且被开方式大于等于零列式求解即可.
【详解】解：根据题意得，
解得，，且．
故选D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
2. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹是河南洛阳的市花，有非常高的观赏价值．某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
3. 如图，在□ABCD中，下列结论不一定成立的是( )
A. ∠1＝∠2B. AD＝DCC. ∠ADC＝∠CBAD. OA＝OC
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形对边平行可得AD∥BC，进而有∠1=∠2，则A项正确；
接下来对于其余三个选项，利用平行四边形的性质，分析图中相等线段和相等角，逐一验证即可.
【详解】A，平行四边形对边平行，则AD∥BC，故有∠1=∠2，正确；
B，平行四边形的邻边不一定相等，则AD=DC，错误；
C，平行四边形的对角相等，则∠ADC=∠CBA ，正确；
D，平行四边形对角线互相平分，则OA=OC，正确.
故选B
【点睛】本题考查平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线互相平分
4. 下列选项中不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案．
【详解】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，
B、C、D均满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数，
而A中，对一个的值，与之对应的有两个的值，故不是的函数，
故选：A．
【点睛】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 当时，分式有意义B. 当时，分式无意义
C. 不论取何值，分式都有意义D. 当时，分式的值为0
【答案】C
【解析】
【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【详解】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
6. 已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
7. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有乙B. 甲和丁C. 乙和丙D. 乙和丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
8. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：A．阴影面积，故符合题意；
B．阴影面积，故不符合题意；
C．阴影面积，故不符合题意；
D．阴影面积，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
9. 漏刻是我国古代一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法求出与之间的函数解析式，再求出时，的值即可得．
【详解】解：设与之间的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则，
当时，，
即当时间为时，对应的高度为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10. 一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知直线与直线平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线平行，则k值相等可求得k，再由直线过已知点，把此点坐标代入即可求得b，从而可得所求函数解析式．
【详解】∵直线与直线平行
∴
∴
∵直线过点(8，2)
∴
∴
∴所求的函数解析式为
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两直线平行k值相等的性质．
12. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、，则顶点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和点坐标的平移规律即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形的顶点、、，
，，
将点A平移至点B，需要把点A向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
∴点O向左平移3个单位，再向上平移3个单位，可得到点C，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和点坐标的平移规律，平行四边形的对边平行且相等，点坐标平移规律为：右加左减，上加下减．
13. 定义运算，如，则当时，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义得出，进而代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
14. 如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则不等式组的解集是______________．

【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象求出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数的图象在x轴的上方，当时，函数的图象在x轴的上方，
∴不等式组的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据一次函数的图象求不等式组的解集，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数和不等式的关系．
15. 如图1，在长方形中，动点R从点C出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形的面积是______．

【答案】20
【解析】
【分析】先根据函数图象得出，，再根据长方形的面积公式计算，即可．
【详解】解：∵时，点R从C到达点D，
∴，
∵时，此时点R从D到达点A，且长方形的面积开始不变，
∴，
∴长方形的面积为．
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解题的关键是根据题意得出，．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）2；（2）分式方程的解是
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可；
（2）先去分母把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边都乘，得，
解得
检验：当时，，
∴分式方程的解是．
17. 先化简，再从中选取一个你喜欢的整数的值代入求值．
【答案】，2．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后取一个使分式有意义的值，代入计算即可求出答案．
详解】原式=×
=
∵a≠﹣2，2，1，
∴a=0．
当a=0时，原式=2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟．
（2）在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？
【答案】（1）
（2）分钟时速度最快，最快速度为米/分钟
（3）小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟
【解析】
【分析】（1）认真观察图象，根据舅舅家和小红家的纵坐标，即可得到小红家到舅舅家的路程，根据图象平行与横轴可知小红在商店停留，即可求得小红在商店停留的时间；
（2）根据图象的陡缓判定速度的快慢，根据路程除以时间得速度；
（3）认真读图，求得小红行驶的路程和时间，即可求出全程平均速度．
【小问1详解】
解：根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是（米）；
据题意，小红在商店停留的时间为从6分到分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据图象，时，直线最陡，
故小红在分钟速度最快，速度为（米/分）．
【小问3详解】
解：读图可得：小红共行驶了（米），共用了分钟．
（米/分钟）．
小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟．
【点睛】本题考查了通过图象获取信息的能力，解题关键在于认真观察图象，能从图象中获取需要的信息．
19. 列分式方程解应用题：
刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行多少千米．
【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行30千米、15千米
【解析】
【分析】根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可．
【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米．
由题意得，解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以．
答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行30千米、15千米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20. 如图，直线y=k1x+b（k1≠0）与双曲线（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
【答案】（1）y=x+1，；（2）y2＞y3＞y1；（3） ﹣2＜x＜0或x＞1.
【解析】
【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式；
（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式；
（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集.
【详解】解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k2=2，即双曲线解析式为，
将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：，解得m=﹣2，∴B（﹣2，﹣1），
将A与B坐标代入直线解析式得：，解得：，
∴直线解析式为y=x+1；
（2）∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限y随x增大而减小，
∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，
则y2＞y3＞y1；
（3）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），
利用函数图象得：不等式k1x+b＞的解集为﹣2＜x＜0或x＞1.
【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系.
21. 在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
（1）直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
【答案】解：（1）由题意，得y1=250x+3000，y2=500x+1000；（2）见详解；（3）见详解.
【解析】
【分析】（1）根据总费用=购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出y1、y2与x的函数关系式.
（2）根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y1、y2的图象.
（3）观察图象可知：当使用时间大于8个月时，方案1省钱；当使用时间小于8个月时，方案2省钱；当使用时间等于8个月时，方案1与方案2一样省钱.
【详解】（1）由题意，得y1=250x+3000，y2=500x+1000.
（2）作图如下：
（3）由图象可知：
①当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即方案1省钱；
②当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案2省钱；
③当使用时间等于8个月时，y1=y2，即方案1与方案2一样省钱.
22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
【答案】【教材呈现】：见解析；【性质应用】：见解析；【拓展提升】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；
[教材呈现]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[性质应用]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[拓展提升]由，得出，，证是等腰三角形，得出，则+BF，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果．
【详解】[教材呈现]证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
性质应用证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，，
；
[拓展提升]解：如图2，，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
的周长，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长，
故答案为：．
23. 如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．

（1）m＝______；n＝______；点C的坐标为______．
（2）求面积．
（3）将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______．
【答案】（1）2，5，
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可；
（2）根据平行四边形的面积公式计算即可；
（3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可；
【小问1详解】
把代入得
，
把代入得
∵、
∴
∴
∴
故答案为：2，5，
【小问2详解】
面积=
小问3详解】
C往上平移后为D，设
∵D是的图象上的点
∴，即
∴平行四边形沿y轴向上平移了个单位，
设的解析式为，代入
得，即的解析式为
如图：
当时，，则点
A到的距离、
∴重叠的阴影部分的面积为=
故答案为
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法.
t/min
…
1
2
3
…
h/cm
…
2.4
2.8
3.2
…
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图1，的对角线和相交于点．
求证：．