2024年陕西省咸阳市部分学校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5 毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(C 或D)．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. 如果向右走10米，记为米，那么向左走25 米记为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．由题意知，向右走10米，记为米，则向左走记为，然后判断作答即可．
【详解】解：∵向右走10米，记为米，
∴向左走25 米记为米，
故选：D．
2. 如图，直线a、b相交，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查对顶角、邻补角，根据对顶角相等求出∠2的度数，再根据邻补角的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法．应用合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法以及积的乘方法则进行计算即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
4. 在中，、是对角线，补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【详解】解：添加一个条件为，理由如下：
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形．
故选：B．
5. 已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数和的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可．
【详解】解：直线与直线的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解，
关于、的方程组 的解为
则直线 与直线、 为常数，且的交点坐标是
故选：C．
6. 如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵E、F分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
7. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（ ）

A 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，

，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
．
故选：C．
8. 已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（ ）
A. 或7B. 1 或7C. 4D. 或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：n的值为或7．
故选：A．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题(共5 小题，每小题3分，计15分)
9. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算．先计算算术平方根，再计算减法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为___________．(结果保留根号)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 ，求出宽，再求出面积即可．
【详解】解：∵四边形是黄金矩形，
∴，
∵长，
∴宽，
∴矩形的面积为．
故答案为：．
11. 如图，在矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角求角度；连接，根据矩形的性质可得，则，根据，则，，根据三角形的外角的性质，得出，进而可得．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则n的值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数．根据两个点的横纵坐标的积相等，等于反比例函数的系数解答．
【详解】解：点、在同一个反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：．
13. 如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由“”可证，可得，当时，有最小值为的长，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，连接，

，
，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
当有最小值时，有最小值，
点，点分别是直线，直线上一点，
当时，有最小值为的长，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题(共13 小题，计81分．解答应写出过程)
14. 解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
表示在数轴上如下：
【点睛】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法．其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
【详解】解：去分母，得：，
整理得，
系数化为1，得，
经检验：是原分式方程的解．
17. 如图，在矩形中，，连接，请利用尺规作图法在上找一点F，使得的周长为14．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图．作的垂直平分线交于点即可．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，
，
在矩形中，，，
的周长．
18. 如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质．首先判定四边形是平行四边形，得到，然后利用等角对等边得到，从而证得结论．
【详解】证明：四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
19. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若 是该方程的一个解，求n的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法．
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根；
（2）把代入方程即可求出．
【小问1详解】
证明：由题意得：
，
∴该方程总有实数根；
【小问2详解】
解：把代入方程，得：，
解得：，
∴的值为3．
20. 王朋和李强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，经过商量，他们计划用摸球的方式确定一人参加．在一个不透明的袋子里装有四个小球，分别标上1、2、3、4(这些球除数字外都相同)．游戏规则：第一次，先将袋中的小球摇匀后，王朋从袋子中随机摸出一个小球，记下所摸小球上的数字，摸到偶数不放回，摸到奇数放回；第二次，再将袋子中的小球摇匀后，李强从袋子中随机摸出一个小球，记下所摸小球上的数字．若二人所摸到小球上的数字之和大于5，王朋参加；否则，李强参加．
（1）“王朋从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球上的数字是6”属于 事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)
（2）请用面树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗?
【答案】（1）不可能 （2）这个游戏对双方不公平
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之和大于5的概率．
【小问1详解】
解：由题意可得，数字1，2，3，4中，
“王朋从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球上的数字是6”属于不可能事件；
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：树状图如下：

由上可得，一共有14种等可能性，其中两数之和大于5的可能性有5种，
王朋参加的概率为，李强参加的概率为，
，
∴这个游戏对双方不公平．
21. 小林想利用无人机测量某塔（图的高度．阳光明媚的一天，该塔倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点处时，点到水平面的高度米，在点处测得该塔顶端的仰角为．该塔顶端在水中倒影的俯角为．已知，，、、三点共线，，求该塔的高度．（光线的折射忽略不计．，
【答案】该塔的高度约为99米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
设米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
，
，
，
解得：，
（米，
（米，
该塔的高度约为99米．
22. 【情境描述】
古人没有钟表，大多数时候，他们是以香燃烧的时间长短，来计量时刻的．实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素，一炷香的燃烧时间并不完全相同，但一般约为半个时辰，即一个小时．综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．
【观察发现】
小组成员准备了一柱长为的香，测量后发现，香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化，每燃烧一分钟，香的长度就减少．
【建立模型】
（1）若用()表示香燃烧时剩余长度，用(分)表示燃烧时间，请根据上述信息，求关于的函数表达式，并在图中画出部分函数图象；
【解决问题】
（2）请你帮该小组算一算，经过多长时间，这柱香恰好燃烧完？
【答案】（1）；作图见解析；（2）经过分钟这柱香恰好燃烧完．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用问题．
（1）其剩余长度与燃烧时间之间是一次函数关系，根据所给数据直接给出答案即可；
（2）蜡燃烧完时，即，代入求解即可．
【详解】解：（1）依题意，剩余长度与燃烧时间之间的关系为：，
当时，，
当时，，
如图所示，
（2）根据函数的关系式可以看出剩余长度随着燃烧时间的增加而变短，
当时，，
，
所以经过分钟这柱香恰好燃烧完．
23. 王大伯种植了棵新品种桃树，现已挂果，到了成熟期随机选取部分桃树作为样本，对所选取的每棵树上的桃子产量进行统计（均保留整十千克）．将得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）所抽取桃树产量的中位数是 ，众数是 ，扇形统计图中所在扇形圆心角的度数为 度；
（2）求所抽取桃树的平均产量；
（3）王大伯说，今年他这棵新品种桃树产量超过万千克．请你通过估算说明王大伯说法是否正确．
【答案】（1），，
（2），过程见详解
（3）王大伯的说法是正确的，过程见详解
【解析】
【分析】（1）用产量的桃树数除以，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的棵数，可得产量桃树的棵数，则可求所在扇形圆心角的度数，根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）用样本估计出每棵桃树平均产量；
（3）用样本平均产量估计出棵桃树的产量．
【小问1详解】
解：由题意可知样本容量为：，
产量的树有：棵，
扇形统计图中所在扇形圆心角的度数为：，
所抽取桃树产量的中位数是：，
众数是．
故答案为：，，；
【小问2详解】
所抽取的桃树平均产量为；
【小问3详解】
这棵新品种桃树产量约为，
所以王大伯的说法是正确的．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求众数与中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径， AC与 BD 相交于点 E． 过点 C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点 F．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质；
（1）连接，如图，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，则利用平行线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用等量代换得到结论；
（2）先证明，利用相似比得到，再由得到，从而得到结论．
小问1详解】
证明：连接，如图，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，的坐标为或．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
（2）求出，抛物线的解析式为，设，，以为边的四边形是平行四边形分两种情况：①以，为对角线，则，中点重合，，②以，为对角线，，解方程组可得答案．
小问1详解】
解：根据题意得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，
把抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为；
由抛物线顶点的横坐标为2知其对称轴为直线，
设，，
又，
①以，为对角线，则，中点重合，
，
解得，
；
②以，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
26. 问题探究
（1）如图1，在中，，于点O，过点C作于点D，，，则的长为 ；
（2）如图2，在正方形中，点P在对角线上，点M、N分别在边上，且，求证：；
问题解决
（3）如图3，某地有一块形如正方形的景区，是景区内的一条小路，点E、N分别在上，管理部门欲沿修建一条笔直的观光小路，在与的交汇处P修建休息亭，并沿再修建一条笔直的观光小路．设计人员经测算发现只要再满足就可以实现要求．请判断设计人员的方法是否可行（当且时，）？并证明你的结论．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）能行，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求得，利用证明，得到，据此求解即可；
（2）过点作垂线，垂足分别为，利用等腰三角形的判定和性质结合特殊角的三角函数值求得，，再证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）作出如图的辅助线，由（2）知，结合已知求得，再证明，求得，，再证明和，推出，，据此即可得解．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）过点作的垂线，垂足分别为，如图，
∵正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）过点作的垂线，垂足分别为，的延长线交于点，作交于点，如图，
由（2）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．