北京市2024年中考数学模拟试卷 6（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷 6（含解析），共32页。
A．B．C．D．
2．（2分）近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长．其中2022年1—11月份，我国生产原煤40.9亿吨．40.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．40.9×108B．4.09×109
C．4.09×108D．0.409×1010
3．（2分）下面的数字图案，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，已知直线AB∥CD，AD⊥CE，垂足为A，∠EAB＝50°，则∠ADC＝（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
5．（2分）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2nB．m3＜n3C．3﹣m＞3﹣nD．m+2＞n+2
6．（2分）一个五边形的外角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．180°
7．（2分）甲乙两位同学相约去国际会展中心参观，会展中心共有东南西北四个大门，他们分别从东西两个大门进去，参观后，他们各自从其它三个大门选择一个出来，则他们从同一个大门出来的概率是（ ）
A．12B．13C．29D．14
8．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG＝FG时，线段DE的长为（ ）
A．13B．2 5C．412D．4
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使二次根式21−x有意义的x的取值范围是 ．
10．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ ．
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果C△EAF：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝ ．
12．（2分）关于x的分式方程2x−5x−3=0的解为 ．
13．（2分）点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）都在双曲线y=2019x上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．（2分）若k≠1，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是 ．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD切于点D．若AB＝2，∠CAD＝30°，则CD的长为 ．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（13）﹣1+8−|﹣1|﹣6sin45°．
18．（5分）解不等式组：2x+3≥x+4①2x−13−1＜2−x②．
19．（5分）先化简，再求值：（1−xx−1）÷x2−1x2−2x+1，其中x=3−1．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=AE=12AD．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）若tan∠ACB=34，AC＝8，求CD的长．
21．（6分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书中记载了一个问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
22．（5分）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
23．（5分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.1班168 171 172 174 174 176 177 179
2班168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 cm．
24．（6分）如图，在以AB为直径的⊙O中，弦CD⊥AB于点H，与弦AE交于点F，连接BE，已知CD＝8，AH＝2．
（1）求⊙O的半径．
（2）若AC=CE，求BE的长．
25．（5分）一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．如图所示，小文对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为2.5cm，2节这样的链条连在一起的总长度为4.2cm，4节这样的链条连在一起的总长度为7.6cm．
（1）请根据图建立一个函数，表示这种型号自行车链条总长度随链条节数的变化规律；（自己确定其自变量和因变量，用字母表示，并直接写出其表达式）
（2）借助你建立的函数解决下列问题：
①求20节同样的链条按图中方式连在一起的总长；
②李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为85.8cm，这段链条共有多少节？
26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）当﹣1≤x≤5时，则y的范围是 ≤y≤ （直接写出答案）．
27．（7分）如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“最短距离”，记作d（M，N）．
例：如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形M：△A'B'C'，各顶点的坐标分别是A'（1，1），B'（﹣1，2），C'（2，3）；图形N：x轴．则图形M，N的“最短距离”是顶点A'（1，1）到x轴垂线段A'D'的长度为1，即d（M，N）＝1．
根据以上定义及例题，解决下列问题：
如图2；在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，5），B（0，﹣3），C（4，5），D（﹣4，0）．
（1）图形M：原点O；图形N：线段BD．求d（M，N）．
（2）图形M：直线y＝x+b；图形N：△ABC．若d（M，N）＝1．求b的值．
（3）当d（M，N）＞0时，则称图形M与图形N“相离”．图形M：⊙H，圆心为H（t，0），半径为1；图形N：△ABC．直接写出图形M与图形N“相离”时t的取值范围．
北京市2024年中考数学模拟试卷6
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．
【解答】解：根据俯视图的特征，应选C．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．
2．（2分）近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长．其中2022年1—11月份，我国生产原煤40.9亿吨．40.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．40.9×108B．4.09×109
C．4.09×108D．0.409×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法：用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a＜10，n是正整数，
【解答】解：40.9亿＝4.09×109．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法的应用，掌握该方法是解题关键．
3．（2分）下面的数字图案，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：数字图案中，不是轴对称图形的是6．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
4．（2分）如图，已知直线AB∥CD，AD⊥CE，垂足为A，∠EAB＝50°，则∠ADC＝（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】先求解∠CAD＝90°，证明∠ACD＝∠EAB＝50°，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵AD⊥CE，
∴∠CAD＝90°，
∵AB∥CD，∠EAB＝50°，
∴∠ACD＝∠EAB＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质以上是解题的关键．
5．（2分）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2nB．m3＜n3C．3﹣m＞3﹣nD．m+2＞n+2
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，
∴m3＞n3，故本选项不合题意；
C．∵m＞n，
∴﹣m＜﹣n，
∴3﹣m＜3﹣n，故本选项不合题意；
D．∵m＞n，
∴m+2＞n+2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题时注意，不等式的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
6．（2分）一个五边形的外角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．180°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和定理解答即可．
【解答】解：边形的外角和等于360°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
7．（2分）甲乙两位同学相约去国际会展中心参观，会展中心共有东南西北四个大门，他们分别从东西两个大门进去，参观后，他们各自从其它三个大门选择一个出来，则他们从同一个大门出来的概率是（ ）
A．12B．13C．29D．14
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他们从同一个大门出来的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们从同一个大门出来的结果有2种，
∴他们从同一个大门出来的概率为29．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG＝FG时，线段DE的长为（ ）
A．13B．2 5C．412D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】连接DF，AF，EF，证明△AFD≌△BFE，根据全等三角形的性质得到AD＝BE＝2，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接DF，AF，EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠B＝45°，
∵FG＝AG，
∴FG＝DG＝EG，
∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，
∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，
∴∠DFA＝∠EFB，
在△AFD和△BFE中，
∠DAF=∠BAF=BF∠DFA=∠EFB，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝BE＝2，
∴AE＝4，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=25，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使二次根式21−x有意义的x的取值范围是 x＜1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x＜1．
【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
【解答】解：根据题意，得1﹣x＞0．
解得x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
10．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解；运算能力．
【答案】2（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果C△EAF：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝ 1：8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】1：8．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到S△EAFS△EBC的值，从而可以得到S△EAF：S四边形ABCF的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，
∴△EAF∽△CDF，
∵C△EAF：C△CDF＝1：2，
∴AFDF=12，
∴AFAD=13，
∴AFBC=13，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽ABC，
∴S△EAFS△EBC=（AFBC）2＝（13）2=19，
∴S△EAF：S四边形ABCF＝1：8，
故答案为：1：8．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2分）关于x的分式方程2x−5x−3=0的解为 x＝﹣2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣2．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出2（x﹣3）﹣5x＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：2x−5x−3=0，
方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣2是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
13．（2分）点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）都在双曲线y=2019x上，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y=2019x中k＝2019＞0，
∴双曲线在一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣5＜0，﹣3＜0，2＞0，
∴点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2）在第三象限，C（2，y3）在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0．
∵﹣5＜﹣3，
∴y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（2分）若k≠1，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是 有两个不相等的实数根 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】有两个不相等的实数根．
【分析】先计算判别式得到Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×2（k﹣1）＝（k﹣1）2，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×2（k﹣1）＝（k﹣1）2，
∵k≠1，
∴（k﹣1）2＞0，
即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD切于点D．若AB＝2，∠CAD＝30°，则CD的长为 3 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】3．
【分析】连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODC＝90°，再根据圆周角定理得到∠DOC＝60°，然后根据含30°角的直角三角形三边的关系得到CD的长．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠DOC＝2∠CAD＝2×30°＝60°，
∴CD=3OD，
∵直径AB＝2，
∴OD＝1，
∴CD=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 12 分钟．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】12．
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解．
【解答】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，在同一时段中同时进行，节约时间是解题关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（13）﹣1+8−|﹣1|﹣6sin45°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2−2．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3+22−1﹣6×22
＝3+22−1﹣32
＝2−2．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）解不等式组：2x+3≥x+4①2x−13−1＜2−x②．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1≤x＜2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：（1−xx−1）÷x2−1x2−2x+1，其中x=3−1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】−1x+1；−33．
【分析】首先计算括号里面的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可．
【解答】解：原式=x−1−xx−1•(x−1)2(x+1)(x−1)
=−1x−1•(x−1)2(x+1)(x−1)
=−1x+1，
当x=3−1时，原式=−13−1+1=−33．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的加、减、乘、除计算法则，正确把分式进行化简．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=AE=12AD．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）若tan∠ACB=34，AC＝8，求CD的长．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质定理和菱形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB=BC=AE=12AD．
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形；
（2）解：∵四边形ABCE为菱形，
∴AE＝CE=12AD，
∴∠ACD＝90°，
∵BC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴tan∠CAD=CDAC=34，
∵AC＝8，
∴CD＝6．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（6分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书中记载了一个问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】20天．
【分析】设快马x天可以追上慢马，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
根据题意得：240x＝150（x+12），
解得：x＝20．
答：快马20天可以追上慢马．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．（5分）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由见解答过程；
（2）m的值是2；
（3）一次函数解析式为y＝3x﹣7或y=−34x+12．
【分析】（1）把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1，计算得y＝﹣1，即可得答案；
（2）把B（1，t），C（3，t+2）代入，即可解得m的值；
（3）分两种情况：当m﹣1＞0时，把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1即可解得m＝4，得到解析式，当m﹣1＜0时，同理可得一次函数解析式为y=−34x+12．
【解答】解：（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由如下：
把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：y＝2（m﹣1）﹣2m+1＝﹣1，
∴x＝2时，y＝﹣1，即（2，﹣1）在y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上；
（2）∵点B（1，t），C（3，t+2）都在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，
∴t=m−1−2m+1t+2=3(m−1)−2m+1，解得m=2t=−2，
∴m的值是2；
（3）当m﹣1＞0，即m＞1时，一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，y有最大值2，
把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：3（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝4，
∴此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当m﹣1＜0，即m＜1时，y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值2，
把（﹣2，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：﹣2（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m=14，
∴此时一次函数解析式为y=−34x+12，
综上所述，一次函数解析式为y＝3x﹣7或y=−34x+12．
【点评】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征及一次函数的性质．
23．（5分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.1班168 171 172 174 174 176 177 179
2班168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 1 班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 170 cm．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）175、176；
（2）1；
（3）170．
【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；
（2）根据方差的概念，即可作答；
（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．
【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183
从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；
故答案为：175、176．
（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．
1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，
从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，
故答案为：1．
（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）
设2班第六位选手的身高为x厘米，
则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，
x≥169，
据此，第六位可选的人员身高为170、183，
若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，
从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是170厘米，
故答案为：170．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
24．（6分）如图，在以AB为直径的⊙O中，弦CD⊥AB于点H，与弦AE交于点F，连接BE，已知CD＝8，AH＝2．
（1）求⊙O的半径．
（2）若AC=CE，求BE的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）6．
【分析】（1）连接OD，设圆的半径OD＝r，由垂径定理可得DH＝4，从而得到OH＝r﹣2，由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由垂径定理得到AC=AD，推出AE=CD，得到AE＝CD＝8，由勾股定理求出BE=AB2−AE2=6．
【解答】（1）解：如图，连接OD，
设圆的半径是r，
∴OH＝r﹣2，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴DH=12CD=12×8＝4，
∵OD2＝OH2+DH2，
∴r2﹣（r﹣2）2＝42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∵AC=CE，
∴AE=CD，
∴AE＝CD＝8，
∴BE=AB2−AE2=6．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于x的方程，由圆心角、弧、弦的关系得到AE＝CD．
25．（5分）一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．如图所示，小文对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为2.5cm，2节这样的链条连在一起的总长度为4.2cm，4节这样的链条连在一起的总长度为7.6cm．
（1）请根据图建立一个函数，表示这种型号自行车链条总长度随链条节数的变化规律；（自己确定其自变量和因变量，用字母表示，并直接写出其表达式）
（2）借助你建立的函数解决下列问题：
①求20节同样的链条按图中方式连在一起的总长；
②李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为85.8cm，这段链条共有多少节？
【考点】一次函数的应用．
【专题】函数及其图象；数感．
【答案】（1）y＝2.5+1.7（x﹣1）（x是正整数）；（2）①34.8，②50节．
【分析】（1）由自行车链条总长度随链条节数的变化规律，即可解答；
（2）①当x＝20时，代入函数关系式求出y的值即可；
②当y＝85.8时，代入函数关系式求出x的值即可．
【解答】解：（1）链条总长度ycm随链条节数x变化规律是y＝2.5+1.7（x﹣1）（x是正整数）；
（2）①当x＝20时，
y＝2.5+1.7（x﹣1）
＝2.5+1.7×（20﹣1）
＝34.8，
答：20节同样的链条按图中方式连在一起的总长是34.8cm；
②当y＝85.8时，
85.8＝2.5+1.7（x﹣1）
∴x＝50，
答：这段链条共有50节．
【点评】本题考查函数的有关知识，关键是把握自行车链条总长度随链条节数的变化规律．
26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）当﹣1≤x≤5时，则y的范围是 ﹣4 ≤y≤ 12 （直接写出答案）．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）3，0）、（﹣1，0）；
（2）﹣4；12．
【分析】（1）将已知函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；
（2）根据抛物线的性质解答．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）；
（2）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4知，该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）且开口方向向上．该抛物线的大致图象如下：
当x＝5时，y＝12．
当x＝﹣1时，y＝﹣4．
所以当﹣1≤x≤5时，则y的范围是﹣4≤y≤12．
故答案为：﹣4；12．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解题时，运用了数形结合的数学思想．
27．（7分）如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）154．
【分析】（1）先证∠AGD＝90°，再求出CG，DG，即可求出重叠部分（△DCG）的面积；
（2）先证明AG＝GH，再求出AD，然后利用勾股定理建立方程求出AH，进而得出DH即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠B＝∠DCB，
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE＝∠B，
∴∠FDE＝∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
∵DC＝DA，
∴G是AC的中点，
∴CG=12AC=12×8＝4，DG=12BC=12×6＝3，
∴S△DCG=12×CG•DG=12×4×3＝6；
（2）如图2所示：连接BH，
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B＝∠1，
∵∠C＝90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠2＝90°，
∴∠B＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴GH＝GD，
∵∠A+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠A＝∠3，
∴AG＝GD，
∴AG＝GH，
∴点G为AH的中点，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10，
∵D是AB中点，
∴AD=12AB＝5，
∵DH垂直平分AB，
∴AB＝BH，
设AH＝x，则BH＝x，CH＝8﹣x，
由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，
解得x=254，
∴DH=AH2−AD2=154．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算的综合应用；解决问题的关键是利用勾股定理建立方程求出AH．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“最短距离”，记作d（M，N）．
例：如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形M：△A'B'C'，各顶点的坐标分别是A'（1，1），B'（﹣1，2），C'（2，3）；图形N：x轴．则图形M，N的“最短距离”是顶点A'（1，1）到x轴垂线段A'D'的长度为1，即d（M，N）＝1．
根据以上定义及例题，解决下列问题：
如图2；在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，5），B（0，﹣3），C（4，5），D（﹣4，0）．
（1）图形M：原点O；图形N：线段BD．求d（M，N）．
（2）图形M：直线y＝x+b；图形N：△ABC．若d（M，N）＝1．求b的值．
（3）当d（M，N）＞0时，则称图形M与图形N“相离”．图形M：⊙H，圆心为H（t，0），半径为1；图形N：△ABC．直接写出图形M与图形N“相离”时t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】分类讨论；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】（1）d（M，N）=125；
（2）b的值为9+2或﹣3−2；
（3）t＞3+52或t＜−3+52或5−32＜t＜3−52．
【分析】（1）求出O到直线BD的距离即可；
（2）分b＞0和b＜0两种情况，画出图形即可解答；
（3）分三种情形求出经过特殊位置的T的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）连接BD，过O作OE⊥BD于E，如图：
∵B（0，﹣3），D（﹣4，0），
∴OB＝3，OD＝4，
∴BD=OB2+OD2=5，
∵2S△BOD＝OB•OD＝BD•OE，
∴OE=OB⋅ODBD=3×45=125，
∴d（M，N）=125；
（2）当b＞0时，设直线y＝x+b与y轴交于K，过A作AH⊥y轴于H，过A作AG⊥直线y＝x+b于G，过A作AP∥直线y＝x+b交y轴于P，过P作PQ⊥直线y＝x+b于Q，如图：
由y＝x+b知∠QKP＝45°，
∴△PQK是等腰直角三角形，
∵d（M，N）＝1，
∴AG＝PQ＝1，
∴KP=2PQ=2，
∵AP∥QK，
∴∠APH＝∠QKP＝45°，
∴△APH是等腰直角三角形，
∵A（﹣4，5），
∴PH＝AH＝4，
∴OK＝OH+PH+PK＝5+4+2=9+2，
∴K（0，9+2），
∵直线y＝x+b与y轴交于K，
∴b＝9+2；
当b＜0时，设直线y＝x+b交y轴于F，过B作BE⊥直线y＝x+b于E，如图，
∵d（M，N）＝1，
∴BE＝1，
由y＝x+b知∠BFE＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=2BE=2，
∵B（0，﹣3），
∴F（0，﹣3−2），
∵直线y＝x+b与y轴交于F，
∴b＝﹣3−2，
综上所述，b的值为9+2或﹣3−2；
（3）当H在BC右侧时，设直线BC交x轴于S，⊙H切BC与T，如图，
∵B（0，﹣3），C（4，5），
∴BC＝45
∴cs∠OBS=BZBC=255，
∵∠OSB＝∠TSH，∠BOS＝90°＝∠STH，
∴∠OBS＝∠THS，
∴cs∠THS=255，即THSH=255，
∵TH＝1，
∴SH=52，
∵tan∠BOS=OSOB=CZBZ，
∴OS=32，
∴H（3+52，0），
∴t＞3+52时，图形M与图形N“相离”，
当H在AB左侧时，如图，
由对称性同理可得t＜−3+52时，图形M与图形N“相离”，
当H在AB右侧，BC左侧时，如图，
同理可得HS＝H'S'=52，
∴5−32＜t＜3−52时，图形M与图形N“相离”，
综上所述，t的取值范围是t＞3+52或t＜−3+52或5−32＜t＜3−52．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n