难点冲刺03 二次函数的六个存在性问题-九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

这是一份难点冲刺03 二次函数的六个存在性问题-九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版），文件包含难点冲刺03二次函数的六个存在性问题原卷版docx、难点冲刺03二次函数的六个存在性问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共150页， 欢迎下载使用。

技巧一、固定面积的存在性问题
割补法（铅锤线法)：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到几何图形的面积，可得最大面积.
技巧二、平行四边形的存在性问题
（1）3定1动：我们把3个定点顺次连接围成三角形,然后过每个定点做对边的平行线,三条直线的交点就是我们要求的三点.
（2）2动2定：一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，然后用中点坐标和平行四边形对角线互相平分即可计算
中点坐标公式：已知,则线段的中点坐标为
平行四边形的4个顶点的坐标为,
根据“平行四边形对角线互相平分”可知：对角线的中点与对角线的中点相同,可得
技巧三、等腰三角形的存在性问题
如果为等腰三角形,一般来说分三种情况讨论：（1）;（2）;（3）.因此,在解决等腰三角形存在性问题时,通常需要进行分类讨论,这类问题通常有两种方法：几何法与代数法.
（1）几何法：
①两定一动点：可采用“两圆一中垂”的方法快速找出点，再根据几何的相关知识求解;
②一定两动点：把三种情况对应的图全部都画出来,再根据几何的相关知识求解;
注：常见的几何相关知识有：全等三角形,相似三角形,锐角三角形函数,勾股定理,特殊角,三线合一等.
（2）代数法：
两点坐标距离公式：已知,
步骤如下：①先用坐标表示；②再利用两点距离公式表示出；
③分三类讨论：1.，2.，3.;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
技巧四、直角三角形的存在性问题
如果为直角三角形，一般来说分三种情况讨论：(1);(2);(3)。因此，在解决等腰三角形存在性问题时，通常需要进行分类讨论，常见由两种方法处理：
（1）代数法：
步骤如下：①先用坐标表示三个点；②再利用两点距离公式表示出;
③分三类讨论：1.；2.;
3.;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
（2）解析法：
已知直线和直线，若,则直线。
题型一 固定面积的存在性问题
【例1】如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接.

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若将抛物线向下平移个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.
【例2】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为．
(1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
(2)当函数值时，自变量的取值范围： ；
(3)如图1，将函数的图象向右平移个单位长度，与
的图象组成一个新的函数图象，记为．若点在上，求的值；
(4)如图2，在（3）的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边）
(1)写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；
(2)求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
(3)在二次函数的图象上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出直线的解析式为___________；
(3)若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值；
(4)在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由．
题型二 平行四边形的存在性问题
【例3】如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B．将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°，点，为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

(1)若原抛物线过点，求抛物线的解析式；
(2)若A，关于点M成中心对称，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C的对称轴对称．

(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
(2)将抛物线沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线，与y轴交于点E，点D平移后的对应点为F，P为抛物线的对称轴上的动点．请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．

(1)填空：______，______；求得直线的解析式为______．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点M，使得的面积最大？求出点M的坐标及的面积最大值，若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段上的一点，过P作x轴的平行线交抛物线于Q，是否存在这样的点P，使O，A，P，Q四点能组成一个平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线经过，点为抛物线的顶点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点，如图①

(1)求抛物线解析式
(2)直线的函数解析式为________________．点的坐标为________．
(3)在轴上找一点，使得的周长最小，具体作法如图②，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，此时的周长最小，请求出点的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 菱形的存在性问题
【例5】综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
(2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值；
(3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于，两点，其中点坐标为．

(1)求点坐标；
(2)点为直线上方抛物线上一点，连接、，当时，求点的坐标；
(3)将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原拋物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点且为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】已知，抛物线L：与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】如图，已知二次函数图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接．

(1)求；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
题型四 等腰三角形的存在性问题
【例7】如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；
(3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【例8】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：的图象关于原点中心对称．

(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】如图，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点为点，且抛物线经过点．连接交y轴于D

(1)求a，h，k的值．
(2)证明：是直角三角形．
(3)在对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．

(1)求抛物线及直线的表达式；
(2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值；
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 直角三角形的存在性问题
【例9】如图1，已知抛物线与轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上的点，过点P作，，与分别交于点Q和E，如图2，求的最大值；
(3)连接与，是否存在以为直角边的．如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【例10】如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
【变式5-1】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线于点M，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若平分时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式5-2】已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．

(1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
题型六 等腰直角三角形的存在性问题
【例11】如图①，已知抛物线的图象经过点，．过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，连结．

(1)求抛物线的关系式并写出点的坐标；
(2)若动点在轴下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出此时点横坐标；
(3)若将抛物线向上平移个单位，且其顶点始终落在的内部或边上，写出的取值范围；
(4)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例12】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；
(2)过点C作x轴的平行线l，点E在直线l上运动，在点E运动的过程中，试判断在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点，关于x轴斜对称，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
(1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；
①，②，③，④．
(2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值；
(3)抛物线上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且为等腰直角三角形，则b的值为________．
【变式6-2】如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点E，过点P作交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知抛物线L：经过点和，与x轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式：
(2)将抛物线L平移，得到抛物线，且点A经过平移后得到的对应点为．要使是以为斜边的等腰直角三角形，求满足条件的抛物线的函数表达式．
3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴交于点，（点在点的左边）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，连接，，．试判定的形状，并说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
4．（2022秋·山东泰安·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)证明为直角三角形；
(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，抛物线经过点与点．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标；
(2)点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果，求PM的长；
(3)探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2022秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为，点为抛物线的对称轴上的一个动点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线C：的对称轴为，且经过点，，与x轴交于另一点B．

(1)求抛物线C的解析式；
(2)如图所示，若点M是直线上方抛物线C上的一动点，连接，设所得的面积为S，请结合图象求S的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线，点N是x轴上方抛物线上一点，当的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．

(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
9．（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接，．

(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点是线段上方抛物线上的一个动点．过点作交线段于点，设点的横坐标为，记．
①求关于的函数关系式；
②当取和时，试比较的对应函数值和的大小．
(3)如图3，直线：经过点，点是直线上的动点，点是轴上的动点，点是抛物线对称轴上的动点，当以、、、为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有满足条件的点的横坐标．
10．（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使的面积与的面积相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过，两点可画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点，．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；
(3)点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的坐标为，是否存在的面积为2，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．

(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点在上方运动时，求面积的最大值．
(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023秋·广东惠州·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线，
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（i）当时，求与的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的解析式．