高中6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

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2．D [由题意得AB＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB，所以D正确．]
3．B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cs θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°．
故选B．]
4．B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6．故选B．]
5．AD [设P(x，y)，则P1P＝(x，y－1)，
PP2＝(4－x，4－y)，
当点P靠近点P1时，P1P＝12PP2，
则x=124-x，y-1=124-y，解得x=43，y=2，
所以P43，2，
当点P靠近点P2时，P1P＝2PP2，
则x=24-x，y-1=24-y，解得x=83，y=3，所以P83，3．]
6．－9 [AB＝(－8，8)，AC＝(3，y＋6)，
∵A，B，C三点共线，即AB∥AC，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．]
7．-35，45或35，-45 [设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则x2+y2=1，4x+3y=0， ∴x=-35，y=45 或x=35，y=-45． ]
8．－92 [因为向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，所以由2a＋b与c共线，得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－92．]
9．解 (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意，
得AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)．
由AE＝13AC可知，(x1＋1，y1)＝13(2，2)，
所以x1+1=23 ，y1=23 ， 解得x1=-13 ，y1=23 ，
所以点E的坐标为-13，23．
由BF＝13BC可知，(x2－3，y2＋1)＝13(－2，3)，所以x2-3=-23 ，y2+1=1， 解得x2=73 ，y2=0，
所以点F的坐标为73，0．
(2)由(1)可知，
EF＝73，0－-13，23＝83，-23，
又AB＝(4，－1)，所以EF＝23(4，－1)＝23AB，
所以EF与AB共线．
10．D [由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．故选D．]
11．ABD [设C(x，y)，则AC＝(x－3，y＋6)，AB＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴x-3-8＝y+68，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，可能的是ABD．]
12．ACD [因为OC＝(－2，1)，BA＝(2，－1)，所以OC＝－BA，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为AB+BC＝AC≠CA，所以B错误；因为OA+OC＝(0，2)＝OB，所以C正确；因为AC＝(－4，0)，OB－2OA＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确．]
13．m≠12 [AB＝OB-OA＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，AC＝OC-OA＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则AC与AB不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠12．]
14．解 设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5，4)，CA＝(－3，6)，DC＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．
又因为CP＝DP-DC＝(5λ－4，4λ)，
由CP与CA共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0．
解得λ＝47，所以DP＝47DB＝207，167，
所以P的坐标为277，167．
15．解 (1)设G(x，y)，由GA＝－2GM，A(x1，y1)，
Mx2+x32，y2+y32，
∴x1-x=-2x2+x32-x，y1-y=-2y2+y32-y，
∴x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33，
∴Gx1+x2+x33，y1+y2+y33．
(2)证明：∵GA＝x1-x1+x2+x33，y1-y1+y2+y33
＝2x1-x2-x33，2y1-y2-y33，
GB＝x2-x1+x2+x33，y2-y1+y2+y33＝2x2-x1-x33，2y2-y1-y33，
GC＝x3-x1+x2+x33，y3-y1+y2+y33
＝2x3-x1-x23，2y3-y1-y23，
∴GA+GB+GC＝0．