苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十四、反比例函数与正方形结合(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十四、反比例函数与正方形结合(原卷版+解析)，共31页。
如图，直线与轴、轴分别相交于两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
方法：正方形由两个等腰直角三角形组成，因此方法和等腰直角三角形类似，“k”型全等，具体方法，同类型八。
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x轴，y轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A的函数的图象与大正方形的一边交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．3C．D．3
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．21C．D．24
3.如图，四边形和四边形都是正方形，点D在线段上，点F在x轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，，则k的值是_____．
【知不足】
1.如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a的取值范围是（ ）
A．≤a≤B．≤a≤C．≤a≤D．1≤a≤
3.如图，点A、B分别在x轴的正半轴和负半轴上，以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD，正方形ABCD对角线的交点坐标为I（a，b），在正方形ABCD的内部作正方形OPMN，使得O、P、M、N分别落在AB、BC、CD、DA上，若双曲线经过点N和点I，则的值是______．
4．点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是_______．
【一览众山小】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上．将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边分别交于点M、N，轴，垂足为D，连接．
（1）四边形面积与面积关系是_________；
（2）若，，则点C的坐标为_________．
3．如图，已知双曲线与直线交于，两点，．
(1)求，的值；
(2)以为边向左构造正方形，过作轴的垂线交于点，连接，求的长．
4．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，连接．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)点D在反比例函数的图象上，点E在平面内，当以点B，C，D，E为顶点的四边形是以为边的正方形时，求点D的坐标．
5．如图，边长为2的正方形的顶点分别在x轴、y轴上，函数的图象经过点B，把正方形沿翻折得到正方形，交这个函数的图象于点E，连接．
(1)求k的值；
(2)求四边形的面积．
【温故为师】
1．如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)点的坐标为 ；
(2)求反比例函数的解析式．
2．如图，在直角坐标系中，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过边的中点．
(1)直接写出这个反比例函数的表达式 ；
(2)若与关于点M成中心对称，且的边在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出的长 、对称中心点M的坐标 ；
②连接，证明四边形是正方形．
3．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点．
(1)若，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积；
(3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围．
6．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
(1)求，的值．
(2)当的面积为3时，求点的坐标．
(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
类型十四、反比例函数与正方形结合
【解惑】
如图，直线与轴、轴分别相交于两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
方法：正方形由两个等腰直角三角形组成，因此方法和等腰直角三角形类似，“k”型全等，具体方法，同类型八。
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x轴，y轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A的函数的图象与大正方形的一边交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．3C．D．3
【答案】A【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴反比例函数的解析式为，∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设A点的坐标为，∵反比例函数的图象经过A点，
∴，∴，∴小正方形的面积为3，∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，∴大正方形在第一象限的顶点坐标为，
∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．21C．D．24
【答案】A【详解】解：∵当时，，∴，∴；∵当时，0x＋4，解得，∴，∴；过点C作轴于E，
∵四边形是正方形，∴，
∵，∴．在和中，
，∴，∴，∴，
∴C点坐标为，∵点C在反比例函数图象上，∴．
3.如图，四边形和四边形都是正方形，点D在线段上，点F在x轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，，则k的值是_____．
【答案】【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为a和b，
则点，∴
，，∵点A在反比例函数（）的图象上，，
【知不足】
1.如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C【详解】∵点B的坐标为，反比例函数的图象过点B，
∴．设正方形的边长为，则点E的坐标为．
∵反比例函数的图象过点E，∴，解得：或（舍去），
∴正方形的边长为2，∴正方形的周长为．
2．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a的取值范围是（ ）
A．≤a≤B．≤a≤C．≤a≤D．1≤a≤
【答案】A【详解】解：∵A点的坐标为，∴，当C在双曲线时，则，解得；当A在双曲线时，则，解得，∴a的取值范围是：≤a≤，
3.如图，点A、B分别在x轴的正半轴和负半轴上，以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD，正方形ABCD对角线的交点坐标为I（a，b），在正方形ABCD的内部作正方形OPMN，使得O、P、M、N分别落在AB、BC、CD、DA上，若双曲线经过点N和点I，则的值是______．
【答案】【详解】解：设A点坐标为（x，0）∵正方形ABCD对角线的交点坐标为I（a，b），∴D点的坐标（x，2b）∴AD=AB=2b=2（x-a）∴x=a+b∵四边形ABCD、OPMN均为正方形.
∴N点的坐标（a+b，b-a）∴ab=（a+b）（b-a）
∴ab=两边同除以得： 解得：
4．点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是_______．
【答案】##【详解】解：设点，，，，那么∵四边形为正方形，∴，解得，∴．∵四边形为正方形，∴，由①，得③，把③代入②并整理，得，
解得：（不符合题意，舍去）；．∴，∴
【一览众山小】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上．将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】解：作轴于点，交双曲线于点，作轴于点．
在中，令，解得：，的坐标是．
令，解得：，的坐标是．，．，
，又直角中，，，
在和中，，≌，同理，≌≌，，，的坐标是，的坐标是．点在双曲线上，，函数的解析式是：．
把代入得：．．
2．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边分别交于点M、N，轴，垂足为D，连接．
（1）四边形面积与面积关系是_________；
（2）若，，则点C的坐标为_________．
【答案】 相等 【详解】解：（1）∵轴，四边形是正方形，
∴，，又∵，∴设正方形的边长为，则，，，，，∴，，
∴在中，.在和中，，∴，∴，∴，
∴，∴四边形面积与面积相等，
（2）过点作于点，如图所示，
∵，∴，，∵，
∴，∴，∵，，，，∴，，∴，
在和中，∴，∴，
∴，即，∴，即，解得（舍去负值），
∴点的坐标．
3．如图，已知双曲线与直线交于，两点，．
(1)求，的值；
(2)以为边向左构造正方形，过作轴的垂线交于点，连接，求的长．
【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：将代入，得，
解得：，将代入，即，解得：；（2）解：∵，关于原点中心对称，，∴，∴，
过作轴垂线交于点，连接，∴，则是等腰直角三角形，
∵，是等腰直角三角形，∴，∴，即，∵轴，轴，∴，∴四边形是矩形，∴，
∴，∴．
4．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，连接．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)点D在反比例函数的图象上，点E在平面内，当以点B，C，D，E为顶点的四边形是以为边的正方形时，求点D的坐标．
【答案】(1)12(2)见解析(3)【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，且，∴，解得：；
（2）证明：过B作于点M，∵，∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，∴点B纵的坐标为6，即，∵A的纵坐标为12，即，
∴，∴，∴垂直平分，∴，∴；
（3）解：存在．如图，过D作于点N，
∴，∴，在与中，
，∴，∴，∵，
∴．
5．如图，边长为2的正方形的顶点分别在x轴、y轴上，函数的图象经过点B，把正方形沿翻折得到正方形，交这个函数的图象于点E，连接．
(1)求k的值；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)4(2)3【详解】（1）由题意，知，∵函数的图象经过点B，
∴，∴；（2）由题意，知，当时，，∴．∴，∴四边形的面积为．
【温故为师】
1．如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)点的坐标为 ；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)(2)y【详解】（1）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，
（2）由（1）可得，∵反比例函数的图像经过点，∴，
解得，∴反比例函数的解析式．
2．如图，在直角坐标系中，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过边的中点．
(1)直接写出这个反比例函数的表达式 ；
(2)若与关于点M成中心对称，且的边在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出的长 、对称中心点M的坐标 ；
②连接，证明四边形是正方形．
【答案】(1)(2)①1；（，）；②见解析【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数表达式为．（2）解：①∵为的中点，，∴，∵与关于点M成中心对称，
∴，∵点E在反比例函数的图象上，∴，即，
∴；∴，∵与关于点M成中心对称，∴对称中心M是线段的中点，∴，即．②如图，连接，
∵，∴，在和中 ∴，∴，，∵，
∴，即，同理可证，∴，又∵，
∴四边形为矩形，又∵，∴四边形为正方形．
3．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点的坐标为或【详解】（1）解：，，且轴，四边形为正方形，轴，且，反比例函数的图象经过点，，
解得，即反比例函数的表达式为；（2）解：根据题意，得，，设，则，解得，当时，，
此时，当时，，此时，综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或．
4．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点．
(1)若，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
【答案】(1)k＝12(2)①正方形ABCD的面积为8；②（1）解：当a＝3时，A（0，3）∴点A平移前的点的坐标是（4，3）∴k＝4×3＝12．（2）解：①把点A（0，a）代入中得：a＝，∴k＝4a，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示：
∴∠DMA＝90°，∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，∴△DMA≌△AOB（AAS），∴DM＝OA＝a，当x＝a时，，
∴AM＝4−a，同理得：△AMD≌△DFC（AAS），∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4−a），∴4（4−a）＝4a，∴a＝2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8；②由①得：B（2，0），C（4，2），设BC的解析式为：y＝mx＋b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝x−2，∴，解得：，∵点E在第一象限，∴，∴．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积；
(3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围．
【答案】(1)(2)8(3)【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，∴对于函数，当时，，解得，∴，∴点A的坐标为，∴；（2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F，∵，∴A为的中点，∵点D在x轴上，点A的坐标为，∴点C的纵坐标为6，∴点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴点F的坐标为，∴，∴；
（3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接，
∴，∵四边形是正方形，∴， ∴，∴，
又∵，∴，∴，∵点A的坐标为，
∴点E的坐标为， ∵直线与y轴交于B，∴点B的坐标为，同理可得点F的坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为；∵，M是的中点，∴是的垂直平分线，
∴，设， ∴，，∴，
∴，∴，
∴，∴，∵M是的中点，∴，∴ ，∵G在上（不包括B、F），
∴，∴，∴，∴．
6．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在．，，【详解】（1），，，．∵，
∴．∴．（2）∵，∴．
∴点P的坐标为．设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．
∴过点P的反比例函数解析式为．（3）存在． 如图1，当为正方形的对角线时，
过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．∵四边形是正方形，∴．
∵，∴．∵，∴，∴．
，∴．设，则，
∴．∵，∴，∴，∴，（舍去），∴，∴．∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；如图2，当为正方形的边时，
过点N作于点H，∵四边形是正方形，∴．∵，
∴．∵，∴，∴，∴，∴；如图3，当为正方形的边时，
由图2可知，，∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；综上可知，点N的坐标为：，，．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
(1)求，的值．
(2)当的面积为3时，求点的坐标．
(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)或，
【详解】（1）解：直线过点，，，直线过点，，，过点，；（2）解：，，，，，，、、分别表示、、三点的横坐标，，解得，经检验是原方程的解，；（3）解：如图1，
，，，
当是边，点在轴正半轴上，作于，作于，，
，，，，，
，，，，，
，（舍去），，如图2，
当点在轴的负半轴上时，由上知：，，，当是对角线时，
当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，，，，如图4，
，，，
，（舍去），当时，，
，综上所述：或，．