第9章 整式乘法与因式分解（压轴30题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

这是一份第9章 整式乘法与因式分解（压轴30题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版），文件包含第9章整式乘法与因式分解压轴30题专练-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略苏科版原卷版docx、第9章整式乘法与因式分解压轴30题专练-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
第9章整式乘法与因式分解（压轴30题专练）一．选择题（共8小题）1．（2016•滨海县二模）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法确定【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S1和S2的大小．【解答】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，由图1，得S1＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，由图2，得S2＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，∴S1＝S2．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形四条边相等的性质，分别得出S1和S2的面积是解题关键．2．（2014•徐汇区校级自主招生）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（　　）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），∴a＝﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣3+4＝1，3+（﹣4）＝﹣1，即a＝±11，±4，±1共6个．故选：D．【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣12是解题的关键．3．（2009•江干区模拟）如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（　　）A． B． C． D．【分析】观察图形可知：阴影部分的面积＝大圆的面积﹣小圆的面积，大圆的直径＝a，小圆的半径＝，再根据圆的面积公式求解即可．【解答】解：据题意可知：阴影部分的面积S＝大圆的面积S1﹣小圆的面积S2，∵据图可知大圆的直径＝a，小圆的半径＝，∴阴影部分的面积S＝π（）2﹣π（）2＝π（2ab﹣b2）． 故选：A．【点评】此题主要考查学生的观察能力，只要判断出两圆的直径，问题就迎刃而解．本题涉及到圆的面积公式、整式的混合运算等知识点，是整式的运算与几何相结合的综合题．4．（2009•眉山）下列运算正确的是（　　）A．（x2）3＝x5 B．3x2+4x2＝7x4 C．（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6 D．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x2﹣x【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项的法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；单项式乘多项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（x2）3＝x6，故本选项错误；B、应为3x2+4x2＝7x2，故本选项错误；C、（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6正确．D、应为﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3+x2﹣x，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘多项式，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（2007•崇安区一模）如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（　　）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．6．（2005•成都）把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　　）A．m+1 B．2m C．2 D．m+2【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），＝（m﹣1）（m+1+1），＝（m﹣1）（m+2）．故选：D．【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．7．（2017•兴宁区校级自主招生）已知，则的值为（　　）A． B． C． D．或1【分析】|x|一定是非负数，，那么一定为正数，进而先求得（）2的值，最后求得其算术平方根即为所求的值．【解答】解：∵﹣|x|＝1，∴x＞0∴+|x|＞0，∵（）2＝（﹣|x|）2+4＝5，∴+|x|＝，故选：B．【点评】综合考查了绝对值及完全平方公式的知识；得到x的取值是解决本题的突破点；求两数的和，先求得两数的和的平方是解决本题的基本思路．8．（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a＝0，即a＝3b．解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，∴增加的面积相等，∴3bX＝aX，∴a＝3b．故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．二．填空题（共12小题）9．（2012•佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），解得x＝2m+4．故答案为：2m+4．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．10．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是　11　．【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2＝3，∴a＝5，∵b﹣a+1＝2，∴b﹣5+1＝2，∴b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故答案为：11．【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．11．（2008•衡阳）观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据前面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　xn+1﹣1　（其中n为正整数）．【分析】观察其右边的结果：第一个是x2﹣1；第二个是x3﹣1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．【解答】解：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1．故答案为：xn+1﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解题的关键．12．（2014•临淄区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，则△AFC的面积S为　2　．【分析】根据即可推出S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF，然后根据梯形、三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，由CG＝BC+BG，AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE，经过等量代换后，即可推出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形EFGB，∴AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE，∵正方形ABCD的边长为2，∴S△AFC＝S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF＝×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×CG＝×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×（BC+BG）＝×FG2+FG+2﹣FG﹣×FG2＝2．解法二：连接FB∵∠CAB＝∠ABF＝45°∴FB∥AC又∵△ABC和△AFC有同底AC且等高∴S△AFC＝S△ABC＝×2×2＝2故答案为：2．【点评】本题主要考查整式的混合运算，梯形的面积、三角形的面积、正方形的性质，关键在于根据图形推出S△AFC＝S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF．13．（2012•黔西南州）分解因式：a4﹣16a2＝　a2（a+4）（a﹣4）　．【分析】先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解．【解答】解：a4﹣16a2，＝a2（a2﹣16），＝a2（a+4）（a﹣4）．故答案为：a2（a+4）（a﹣4）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，注意提取公因式后还可以利用平方差公式继续分解因式，因式分解一定要彻底．14．（2012•仙桃）如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；…当AB＝n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝　　．【分析】方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+，即可得出答案．方法二：根据题意得出图象，根据当AB＝n时，BC＝1，得出Sn＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S与n的关系，进而得出当AB＝n﹣1时，BC＝2，Sn﹣1＝n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值．【解答】解：方法一：连接BE．∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM，∴△AME与△AMB同底等高，∴△AME的面积＝△AMB的面积，∴当AB＝n时，△AME的面积记为Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+，∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝．方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，∵线段AC＝n+1（其中n为正整数），∴当AB＝n时，BC＝1，∴当△AME的面积记为：Sn＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，＝n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n，＝n2，当AB＝n﹣1时，BC＝2，∴此时△AME的面积记为：Sn﹣1＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，＝（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1），＝n2﹣n+，∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n2﹣n+）＝n﹣＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．15．（2012•菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝　2　．【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【解答】解：根据题意化简＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．故答案为：2【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．16．（2011•乐山）若m为正实数，且m﹣＝3，则m2﹣＝　3　．【分析】由，得m2﹣3m﹣1＝0，即＝，因为m为正实数，可得出m的值，代入，解答出即可；【解答】解：法一：由得，得m2﹣3m﹣1＝0，即＝，∴m1＝，m2＝，因为m为正实数，∴m＝，∴＝（）（）＝3×（），＝3×，＝；法二：由平方得：m2+﹣2＝9，m2++2＝13，即（m+）2＝13，又m为正实数，∴m+＝，则＝（m+）（m﹣）＝3．故答案为：．【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．17．（2011•安徽）定义运算a⊗b＝a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗（﹣2）＝6；②a⊗b＝b⊗a；③若a+b＝0，则（a⊗a）+（b⊗b）＝2ab；④若a⊗b＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是　①③　．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）【分析】本题需先根据a⊗b＝a（1﹣b）的运算法则，分别对每一项进行计算得出正确结果，最后判断出所选的结论．【解答】解：∵a⊗b＝a（1﹣b），①2⊗（﹣2）＝6＝2×[1﹣（﹣2）]＝2×3＝6故本选项正确；②a⊗b＝a×（1﹣b）＝a﹣abb⊗a＝b（1﹣a）＝b﹣ab，故本选项错误；③∵（a⊗a）+（b⊗b）＝[a（1﹣a）]+[b（1﹣b）]＝a﹣a2+b﹣b2，∵a+b＝0，∴原式＝（a+b）﹣（a2+b2）＝0﹣[（a+b）2﹣2ab]＝2ab，故本选项正确；④∵a⊗b＝a（1﹣b）＝0，∴a＝0错误．故答案为：①③【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要根据所提供的公式是解题的关键．18．（2011•保山）若a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝　6　．【分析】将所求式子提取公因式ab，再整体代入求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解法的运用．根据所求的式子，合理地选择因式分解的方法．19．（2008•盐城）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片　3　张．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3张．故答案为：3．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．20．（2010•常熟市校级二模）如图有A、B、C、D、E五个居民点，每天产生的垃圾量（单位：吨），交通状况和每相邻两个居民点的距离如图所示，现要建一座垃圾中转站（只能建在A、B、C、D、E的其中一处），这五个居民点的垃圾都运到此中转站，那么中转站建在何处，才能使总的运输量最小？（圆圈内的数字为垃圾量，线段上的字母表示距离，b＜a＜c）．中转站应建在 　B　处．【分析】根据题意，结合图形给出的数据，运用整式的加减计算总的运输量，比较大小，选取中转站的位置．【解答】解：在A处：3a+6a+4（a+c）+5（b+a）＝18a+5b+4c，在B处：7a+4c+5b+3（a+b）＝10a+8b+4c，在C处：7（a+c）+5a+3×2a+6c＝18a+13c，在D处：7（a+b）+6b+3a+4a＝14a+13b，在E处：7a+6（a+b）+4×2a+5a＝26a+6b，∵b＜a＜c，E处的距离﹣D处的距离＝26a+6b﹣（14a+13b）＝12a﹣7b＝7a﹣7b+5a＞0，故在点E、D两个点，中转站应建在D处，可以使总的运输量最小，同理验证其他点和点D的距离，均可得到中转站应建在D处，可以使总的运输量最小，∵B处的距离﹣D处的距离＝10a+8b+4c﹣（14a﹣13b）＝4（c﹣a﹣b）﹣b，∵a+b＞c，∴4（c﹣a﹣b）﹣b＜0，∴中转站应建在B处，可以使总的运输量最小．【点评】解决此类题目的关键是熟记合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．三．解答题（共10小题）21．（2015春•建邺区期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…（1）根据上述各式反应出的规律填空：952＝　9×10×100+25　＝9025．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果　100a（a+1）+25　，（3）这种简便计算也可以推广应用：①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．【分析】（1）根据152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，可得952＝9×10×100+25，据此解答即可．（2）根据152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，可得（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25，据此解答即可．（3）①1952＝前两位数字×（前两位数字+1）×100+25，据此解答即可．②根据89×81＝（85+4）×（85﹣4），求出89×81的结果是多少即可．【解答】解：（1）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，∴952＝9×10×100+25＝9025．（2）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，∴（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25＝100a（a+1）+25．（3）①1952＝19×20×100+25＝38025．②89×81＝（85+4）×（85﹣4）＝852﹣42＝8×9×100+25﹣16＝7200+25﹣16＝7209故答案为：9025、100a（a+1）+25．【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．22．（2012•斗门区一模）对于任何实数a，b，c，d，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．（1）按照这个规定请你计算的值；（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1＝0时，的值．【分析】（1）根据＝ad﹣bc，把展开计算即可；（2）先把展开，再去括号、合并，最后把x2﹣3x的值整体代入计算即可．【解答】解：（1）＝5×8﹣6×7＝﹣2；（2）＝（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝x2﹣1﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣1，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x﹣1＝﹣2（x2﹣3x）﹣1＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1．【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，以及整体代入．23．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．【分析】（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2＝（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2＝（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2＝（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，即a＝1，b＝2，c＝1，∴a+b+c＝4．【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2进行配方的能力．24．（2007•淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．【解答】解：（1）11×29＝202﹣92；12×28＝202﹣82；13×27＝202﹣72；14×26＝202﹣62；15×25＝202﹣52；16×24＝202﹣42；17×23＝202﹣32；18×22＝202﹣22；19×21＝202﹣12；20×20＝202﹣02 …（4分）例如，11×29；假设11×29＝□2﹣○2，因为□2﹣○2＝（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○＝11，□+○＝29．解得，□＝20，○＝9．故11×29＝202﹣92．（或11×29＝（20﹣9）（20+9）＝202﹣92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b＝40，a，b是自然数，则ab≤202＝400．②若a+b＝40，则ab≤202＝400． …（8分）③若a+b＝m，a，b是自然数，则ab≤．④若a+b＝m，则ab≤．⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为．⑥若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn＝40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn． …（10分）⑦若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn＝m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．⑧若a+b＝m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．25．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，则x2﹣（x﹣2）2＝28，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，即28＝82﹣62，设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，则y2﹣（y﹣2）2＝2012，解得：y＝504，y﹣2＝502，即2012＝5042﹣5022，所以28，2012都是神秘数．（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．26．（2005•扬州）为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；（3）比较ak和ak+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【分析】（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金）÷n；第3所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金﹣第2所民办学校得到的奖金）÷n；（2）由（1）得k所民办学校所得到的奖金为ak＝总资金÷n×（1﹣）n；（3）用ak表示出ak+1进行比较即可．【解答】解：（1）因为第1所学校得奖金a1＝，所以第2所学校得奖金a2＝（b﹣）＝（1﹣）所以第3所学校得奖金a3＝＝＝；（2）由上可归纳得到ak＝；（3）因为ak＝，ak+1＝，所以ak+1＝（1﹣）ak＜ak，结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多．【点评】这是一道渗透新课程理念的好题．它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察分析、归纳推理等能力．本题得分率较低，究其原因主要有：一是部分学生不能将文字语言转换成符号语言，二是部分学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规律．解决本题的关键一是充分理解题意，二要表示第k所民办学校所得到的奖金，就要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式变形的技能．27．（2021秋•沛县期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是 　630　，S1﹣S2的值为 　63　；（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出S1和S2的面积，相减即可；（2）用含a、b的式子表示出S1和S2的面积，即可求得结论；（3）用含a、b、AD的式子表示出S1﹣S2，根据S1﹣S2的值与AD的值无关，整理后，让AD的系数为0即可．【解答】解：（1）长方形ABCD的面积为30×（4×3+9）＝630；S1﹣S2＝（30﹣9）×4×3﹣（30﹣3×3）×9＝63；故答案为：630，63；（2）S1﹣S2＝4b（40﹣a）﹣a（40﹣3b）＝160b﹣4ab﹣40a+3ab＝160b﹣ab﹣40a；（3）∵S1﹣S2＝4b（AD﹣a）﹣a（AD﹣3b），整理，得：S1﹣S2＝（4b﹣a）AD﹣ab，∵S1﹣S2的值与AD的值无关，∴4b﹣a＝0，解得：a＝4b．即a，b满足的关系是a＝4b．【点评】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2021春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　2　张，3号卡片　3　张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是　（a+2b）•（a+b）　；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝　（a+2b）（a+3b）　画出拼图．【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），（4）先分解因式，再根据边长画图即可．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；故答案为：2，3．（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），故答案为：（a+2b）•（a+b）．（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．29．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．【分析】（1）举反例x＝5，y＝2即可；（2）运用完全平方公式计算；（3））由（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，可知当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，所以x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．【解答】解：（1）当x＝5，y＝2时，（x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3，53﹣23＝117，∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立．（2）（x﹣y）3＝（x﹣y）（x﹣y）2＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3；（3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，∴当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，∴﹣3xy（x﹣y）＝0，∴x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，正确运用完全平方公式和乘法公式是解题的关键．30．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足　a＝2b　时，S为定值，且定值为　a2　．（用含a或b的代数式表示）【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；（3）设DG长为x，求出S1，S2即可解决问题．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图，（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，故答案为：a＝2b，a2．【点评】本题考查完全平方公式，正方形、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．