第10讲 指数与指数函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.根式
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
(2)有理数指数幂的性质
①asat= (a>0,s,t∈Q);
②(as)t= (a>0,s,t∈Q);
③(ab)s= (a>0,b>0,s∈Q).
3.指数函数的图象与性质
常用结论
1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1+b).
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象以x轴为渐近线.
分类训练
探究点一 指数幂的化简与求值
1.化简[3(-5)2]34的结果为( )
A.5B.5C.-5D.-5
2.化简a23b12·-3a12b13÷13a16b56的结果为( )
A.6aB.-aC.-9aD.9a2
3.计算:(32×3)6+(-2020)0-4×1649 -12+4(3-π)4= .
4.已知x+x-1=3,则x32+x-32-3x2+x-2-6的值为 .
[总结反思] 指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
探究点二 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是( )
图2-10-1
(2)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=xb的图象如图2-10-2所示,则下列不等式一定成立的是( )
图2-10-2
A.ba>0B.a+b>0
C.ab>1D.lga2>b
[总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,利用数形结合求解.
变式题 (1)函数f(x)=12|x+1|的图象大致为( )
图2-10-3
(2)设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( )
A.x2·f(x1)>1
B.x2·f(x1)=1
C.x2·f(x1)