选择性必修 第一册3.1 椭圆学案及答案

这是一份选择性必修 第一册3.1 椭圆学案及答案，共4页。
1.会用定义法求轨迹方程.
2.会用代入法求轨迹方程.
3.会用直接法求轨迹方程.
学情分析：
在圆的章节，已经学习过三种求点的轨迹方程的方法，学生已经有了一定的基础。
在考虑轨迹的完备性和纯粹性时易出现错误。
定义法求解轨迹方程时，不易观察出轨迹的几何特征。
计算上易出现失误。
教学重难点：
重点：掌握三种常用的求轨迹方程的方法
难点：定义法（几何特征不是很明显的时候）、讨论曲线上是否所有的点都满足题意（纯粹性和完备性）
温故导新
上节课学习了椭圆的定义以及如何求椭圆的标准方程，本节课继续来学习如何求轨迹方程。
用笔思考
1.阅读教材P115习题6，线段的垂直平分线有什么性质？思考Q点的轨迹符合哪种曲线的特征？总结常见的曲线特征。
2.阅读教材P108例2，选择合适的方法求M点的轨迹方程？轨迹上的所有点都满足此轨迹方程吗？
3.由例2可以发现圆可以通过“压缩”得到椭圆，你能通过将圆“拉伸”得到椭圆吗？由此得到，椭圆与圆之间有什么关系？
4.阅读教材P108例3，试求点M的轨迹方程。归纳总结平面内一动点到两定点的距离为负常数时，动点的轨迹是什么？这个负常数跟椭圆方程中的a,b有什么关系？特别地，此常数为-1时，动点的轨迹是圆吗？
主动讲解
讨论圆与椭圆的关系，如何通过拉伸或压缩，将圆变成椭圆
平面内一动点到两定点的斜率之积为负常数时，点的轨迹可能是什么？
双师导学
知识梳理：定义法求点的轨迹方程
常见的曲线特征及要素有：
① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹；
② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹；
③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹；
注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支；
④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹；
知识梳理：相关点法求轨迹方程的步骤
动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q(x',y')的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
知识梳理：直接法求轨迹方程的步骤
如果动点M运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
聚焦核心
1.三种求点的轨迹方程的方法
2.斜率之积为负常数时，点的轨迹
强化反馈
1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 B
解析 平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10>6，
所以M的轨迹满足椭圆的定义，且a＝5，c＝3，则b＝4，
椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
2.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆B.椭圆
C.线段 D.直线
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝eq \f(1,2)|MF2|，|PF1|＝eq \f(1,2)|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.
3.已知点B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为________.
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)
解析 由已知得|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
则|AB|＋|AC|＝10.
由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，
即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点共线，不满足题意，
所以动点A的轨迹方程是eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0).
4.已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m，n∈R，且m2＋n2＝eq \f(1,2)，则动点P的轨迹方程是________.
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析 设动点P(x，y)，
∵点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m，n∈R，
∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)，
∴x＝2m＋2n，y＝m－n，∴m＝eq \f(x＋2y,4)，n＝eq \f(x－2y,4)，
∵m2＋n2＝eq \f(1,2)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－2y,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，即eq \f(x2,4)＋y2＝