（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第19练 等比数列及其求和（原卷版+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第19练 等比数列及其求和（原卷版+解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．等比数列中，已知，，则（ ）
A．31B．32C．63D．127
3．已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
4．在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
6．等比数列的各项均为正数，已知，，则公比（ ）
A．或B．
C．或D．
7．已知等比数列满足，且，，2，…，且，则当时，（ ）．
A．B．C．D．
8．已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36B．39C．40D．44
9．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A．B．C．D．
二、多选题
11．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
12．已知数列满足，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．是等比数列D．
三、填空题
13．正项等比数列，若，，则的值为_________．
14．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
16．在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
第19练 等比数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
2．（2022·安徽马鞍山·三模（文））等比数列中，已知，，则（ ）
A．31B．32C．63D．127
【答案】A
【详解】
解：因为等比数列中，已知，，设等比数列公比为，
所以，解得，
所以，解得，
所以，
故选：A.
3．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
【答案】C
【详解】
设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
化简得（舍去）或，
所以.
故选：C
4．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：在等比数列中，
因为为方程的两根，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为，
由，
因为，，成等差数列，
所以，于是有，
即，或舍去，
故选：B
6．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））等比数列的各项均为正数，已知，，则公比（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【详解】
设等比数列的首项为，
由题意，得，，
因为，，
所以，
所以，解得或（舍）.
故选：B.
7．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知等比数列满足，且，，2，…，且，则当时，（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由得，，
则，．
故选：A．
8．（2022·江西·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36B．39C．40D．44
【答案】B
【详解】
由题可得，
由，得，
解得，
所以，
所以.
故选：B．
9．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题设，即，又为正项等比数列，
所以，，
由，则，即，
所以，
则，
当且仅当时等号成立，满足，
所以的最小值为2.
故选：B
10．（2022·河南·模拟预测（文））北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，
“次分形”后线段的长度为，
所以要得到一个长度不小于的分形图，
只需满足，则，即，
解得，所以至少需要次分形．
故选：C.
二、多选题
11．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
【答案】AD
【详解】
设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．是等比数列D．
【答案】ACD
【详解】
对选项A，当是奇数时，，
所以，
又因为，所以，
所以当是奇数时，，即.
即数列是以首项为，公比为的等比数列，故A正确.
对选项B，由A知：当是奇数时，，
所以，故B错误.
对选项C，为偶数时，，即，
又因为，所以，即，
所以是以首项为，公比为的等比数列，故C正确.
，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））正项等比数列，若，，则的值为_________．
【答案】
【详解】
由题，因为，可得，则.
故答案为：.
14．（2022·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．
【答案】192
【详解】
解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，
设第一天走了里，
则，解得，
即则该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192.
四、解答题
15．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】(1)
）因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
16．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】(1)
若选①②作为条件，
设|的公差为d，
由成等比数列可知，
所以，
整理得．
由得，
整理得，
当时，不合题意，
所以，则，解得，
故．
若选①③作为条件．
设的公差为d，
由成等比数列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
当时，，不合题意，
所以，则，
故；
若选②③作为条件．
设的公差为d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由两式联立得，
故；
(2)
由（1）得，
所以，
故数列的前n项和．