河南省驻马店市区学校2023—2024学年上学期九年级数学期末质量监测

这是一份河南省驻马店市区学校2023—2024学年上学期九年级数学期末质量监测，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数：①y=3− 3x2；②y=2x2；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)，是二次函数的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列运算正确的是( )
A. 3+ 4= 7B. 12=3 2C. (−2)2=−2D. 14 6= 213
3.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC=120∘，则∠D的度数是( )
A. 20∘
B. 30∘
C. 40∘
D. 45∘
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，如果AC=4，csB=35，那么BC等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2−3B. y=(x+2)2+3C. y=(x−2)2+3D. y=(x−2)2−3
6.如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=4，AB=6，则sinA等于( )
A. 22
B. 32
C. 45
D. 35
7.一元二次方程(x+1)(x−1)=2x−2的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点.连接AF，BF，∠AFB=90∘，且AB=8，BC=14，则EF的长是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=( )
A. 2：5B. 3：5C. 2：3D. 3：2
10.如图，已知抛物线l1：y=−x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M.将抛物线l1关于y轴对称得到抛物线l2.则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积( )
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是__________ .
12.在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有______.
13.△ABC中，AB=9cm，AC=40cm，BC=41cm，则△ABC的外接圆半径长是______.
14.如图，P是抛物线y=x2−2x−3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对角线上，则AE的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)和点B(4,3).
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
(2)直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值(或最小值).
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：2sin30∘−3tan45∘⋅sin45∘+4cs60∘；
(2)计算： 92÷ 214−( 2+ 3)(1− 3 2)；
(3)解方程：2x2+5x+1=0.
18.(本小题9分)
木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次…
(1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？
(2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？(用树状图或列表法展现所有等可能的结果)
19.(本小题9分)
如图，△ABC为等边三角形，点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC的延长线上，连接AD，DE，∠ADE=∠ABC.
(1)求证：△ADB∽△DEC；
(2)若BC=4，DB=2，求CE的长.
20.(本小题9分)
某无人机兴趣小组在操场上开展活动(如图)，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37∘，测得点C处的俯角为45∘.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．(注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.
(1)求证：BC=BH；
(2)若AB=5，AC=4，求CE的长．
22.(本小题9分)
如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接DE，设运动时间为t(s)(00，
∴x=5± 174，
∴x1=5+ 174，x2=5− 174.
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
(3)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-公式法，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件；
(2)根据题意列表如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果，
所以摸到一个红球和一个白球的概率是616=38.
【解析】(1)根据概率的可能性进行判断即可；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠ABD=∠DCE=180∘−60∘=120∘.
∵∠ADE=∠ABC=60∘，
即∠ADB+∠CDE=60∘，
又∠CDE+∠E=∠ACB=60∘，
∴∠ADB=∠E.
∴△ADB∽△DEC；
(2)∵BC=4，DB=2，
∴DC=BC+DB=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=4，
由(1)知△ADB∽△DEC，
∴DBEC=ABDC，
即2EC=46，
∴EC=3.
【解析】(1)由三角形ABC为等边三角形及邻补角性质可得∠ABD=∠DCE=180∘−60∘=120∘，又∠ADB+∠CDE=60∘，∠CDE+∠E=∠ACB=60∘，所以∠ADB=∠E，故可判定△ADB∽△DEC；
(2)由已知可得DC=6，由(1)知△ADB∽△DEC，则DBEC=ABDC，则根据比例可得到EC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．
20.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57米，DE=30米，∠A=37∘，∠DCF=45∘.
在Rt△ADE中，∠AED=90∘，
∴tan37∘=DEAE≈0.75.
∴AE≈40米，
∵AB=57米，
∴BE≈17米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE≈17米．
在Rt△DCF中，∠DFC=90∘，
∴∠CDF=∠DCF=45∘，
∴DF=CF≈17米，
∴BC=EF=DE−DF≈13米，
答：教学楼BC高约13米．
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37∘=DEAE≈0.75求得AE的值，结合题干AB的值可求出BE，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE，由∠CDF=∠DCF=45∘知DF=CF，利用BC=EF=DE−DF求解即可.
21.【答案】解：(1)证明：连接OE，如图，
∵AC为⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90∘，
∵∠C=90∘，
∴OE//BC，
∴∠1=∠3，
∵OB=OE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥AB，∠C=90∘，
∴EH=EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中，
BE=BEEH=EC，
∴Rt△BEH≌Rt△BEC(HL)，
∴BC=BH；
(2)在Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 52−42=3，
设OE=r，则OA=5−r，
∵OE//BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=OEBC，即5−r5=r3，解得：r=158，
∴AO=5−r=258，
在Rt△AOE中，AE= AO2−OE2= (258)2−(158)2=52，
∴CE=AC−AE=4−52=32.
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．
(1)连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，则可证明∠1=∠3，又因为∠2=∠3，从而得到∠1=∠2，然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC(HL)，得到结论；
(2)利用勾股定理计算出BC=3，设OE=r，则OA=5−r，证明△AOE∽△ABC，利用相似比计算出r=158，则AO=258，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到CE的长．
22.【答案】解：(1)分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF//AG，DFAG=BDAB
∵AB=AC=10cm，BC=16cm，
∴BG=8cm，
∴AG=6cm.
∵AD=BE=tcm，
∴BD=(10−t)cm，
∴DF6=10−t10
解得DF=35(10−t)
∵S△BDE=12BE⋅DF=7.5cm2
∴35(10−t)⋅t=15
解得t=5.
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2.
(2)存在．理由如下：
①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，
∴BEAB=BDBC即t10=10−t16，
解得t=5013，
②当BD=DE时，△BDE∽△BAC，
BEBC=BDAB即t16=10−t10，
解得t=8013.
答：存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
(2)根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
23.【答案】解：(1)∵点A(−2,0)，在抛物线y=ax2+bx−6a上，
∴4a−2b−6a=0，
∴b=−a，
∴y=ax2−ax−6a=a(x−12)2−25a4.
∴点P坐标为(12,−25a4).
(2)由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=12，
∴点B与点A关于直线x=12对称，
∴B(3,0)，
∴AB=5，
∵点P坐标为(12,−25a4)，
∴△ABP面积S=12×5×|−25a4|=1258|a|.
∵−8≤a≤−5
∴S=−1258as随a的增大而减小．
∴a=−8时，△ABP面积的最大值为125.
(3)∵a=1，b=−a，
∴y=x2−x−6，
∵y=x2−x−6与x轴交于A(−2,0)，B(3,0).
∴新函数为y={x2−x−6(x⩾3或x⩽−2)−x2+x+6(−2