安徽蚌埠禹王学校2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题

这是一份安徽蚌埠禹王学校2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题，共5页。试卷主要包含了本卷命题范围，函数的图象大致为，下列各组函数是同一函数的是，已知，，且，则的最小值是，已知集合，，若，则m的值可以是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考试作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域或书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册3.2结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的真子集的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，下列不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与．
A．①②B．①③C．③④D．①④
7．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．10B．15C．16D．18
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部迭对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合，，若，则m的值可以是（ ）
A．0B．1C．3D．3
10．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．若不等式的解集为R，则实数a的取值可以是（ ）
A．2B．0C．－8D．－10
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．有2个实数根
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“，”的否定是______．
14．已知函数，则______．
15．函数的两个零点为a，b，则______．
16．定义：表示不超过x的最大憨数，如，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
集合，．
（1）求；
（2）求．
18．（本小题满分12分）
设函数，且，．
（1）求的解析式；
（2）判断在区间上的单调性，并利用定义证明．
19．（本小题满分12分）
设条件，条件．
（1）在条件q中，当时，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20．（本小题满分12分）
（1）已知，求的解析式；
（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
21．（本小题满分12分）
某公司要设计如图所示的一张矩形宜传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎祥确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：cm），使整个矩形广告牌面积最小？
22．（本小题满分12分）
已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若在上有最大值，求实数b的取值范围．
2023~2024学年第一学期高一期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 含有个元素的集合的真子集个数为，的真子集个数为，即7．
2．B 依题意，解得且，所以的定义域为．
3．C ∵，∴，故A对；∵，∴，故B对；∵，且，∴，故D对；∵，故，故C错．
4．A 对于选项A，当时，或，由函数的定义可得中的y不是x的函数；由函数的定义知，，中的y是x的函数，故选A．
5．A 由函数的解析式可得，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误．
6．C ①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与是同一函数；
所以是同一函数的是③④．故选C．
7．B 若函数是上的减函数，则，解得，故选B．
8．D ，当且仅当，即，时，等号成立．
9．AD 由可知，或，由，解得或．故选AD．
10．AB 由解得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以只需，对照四个选项，a可以取1，2．故选AB．
11．BCD 不等式的解集为，
当时，不等式为，恒成立，所以符合题意；
当时，的解集为，则，解得．
综上，a的取值范围是，故选BCD．
12．ABC 对于选项A：∵，∴，故选项A正确．对于选项B：∵或1，都是有理数，∴，故选项B正确．对于选项C：①若x为有理数，则也是有理数，∴，，即；②若x为无理数，则也是无理数，∴，，即，又函数的定义域为，所以函数是上的偶函数，故选项C正确．对于选项D：方程等价于，当时，，此时，方程不成立；当时，，此时，方程成立，所以方程只有一个实根1，故选项D错误．故选ABC．
13．，
14．．
15． 因为函数，所以根据韦达定理可知，两个零点a，b满足，，所以．
16． 当x为整数时，，当时，，当时，，∴．
17．解：（1），∴．
（2），．
18．解：（1）由题意得，即，所以，解得，所以．
（2）由（1）知，函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，有
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增，命题得证．
19．解：（1）当时，条件，即，
解得，故x的取值范围为．
（2）由题知，条件，条件，即，
∵p是q的充分不必要条件，故是的真子集，
∴，解得，故实数m的取值范围为．
20．解：（1）令，则，所以，即函数．
（2）设，则由，得，即，所以解得所以．
21．解：设矩形栏目的长为，宽为，则，∴，
∴整个矩形广告牌的一边长为，另一边长为（其中，），
∴整个矩形广告牌的面积，
当且仅当，即时取等号，此时．
故当矩形栏目的长为2000 cm，宽为100 cm时，可使整个矩形广告牌的面积最小．
22．解：（1）令，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以此时，且．
所以
（2）结合（1）的结论，作出函数的图象如下：
当时，，所以在区间上有最大值，满足题意；当时，，在区间上无最大值，不满足题意；
当时，易得，在区间上有最大值，满足题意．
综上，实数b的取值范围为.