四川省南充市顺庆区南充高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

南充高中高2023级第一学期第一次月考(数学)

一. 单选题

1. 设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ）

A. ​ B. -3 C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.

【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​.

当 ​时,​或​; 当​时,​.

当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去;

当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求;

当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求.

综上, ​或​.

故选: D.

2. 命题“ ​”的否定是（     ）

A. ​

B. ​

C. ​

D. ​

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：​.

故选：B.

3. 设，则的大小顺序是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.

【详解】，，

，，

.

又，故.

则.

故选：C.

4. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（    ）

A 120 B. 144 C. 177 D. 192

【答案】B

【解析】

【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.

【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，

则，，

不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，

即，

，

由容斥原理：

，

解得：，

故选：B.

5. “”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.

【详解】先考虑充分性.

,

=，

因为，所以，

所以“”是“”的充分条件.

再考虑必要性.

,

=，

不能推出. 如：a=-3,b=-1.

所以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选A

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6. 已知集合或，若，则实数的取值范围是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集运算结合数轴即可求出的范围.

【详解】因为集合或，，所以.

故选：B.

7. 已知不等式 ​的解集为​, 则不等式​的解集为 （     ）

A. ​或​

B. ​

C. ​

D. ​或​

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.

【详解】因为不等式 ​的解集为​,

因此 ​的两根为​, 且，即​, 解得​，

所以不等式 ​化为​, 其解集为​或​.

故选： A

8. 已知且，则的最小值为（    ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意得，，

令，则，

由得，

故

，

当且仅当，结合，即时取等号，

也即，即时，等号成立，

故的最小值为9，

故选：B

9. 已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论正确的是 （    ）

A. UN⊆UP B. NP⊆NM

C (UP)∩M=∅ D. (UM)∩N=∅

【答案】ABC

【解析】

【分析】由已知条件画出Venn图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可

【详解】因为集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，所以作出Venn图，如图所示，

由Venn图，得UN⊆UP，故A正确；

NP⊆NM，故B正确；

(UP)∩M=∅，故C正确；

(UM)∩N≠∅，故D错误.

故选：ABC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.

【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，故选项A正确；

对于B，当，，，时，有，，

但此时，，，故选项B错误；

对于C，当，，时，有，，

但此时，，，故选项C错误；

对于D，∵，∴，∴，

∴，∴，

由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.

故选：AD.

11. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.

【详解】若关于的不等式对恒成立，

当时，不等式为，满足题意；

时，则必有且

解得，

故的范围为，

故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，

考查选项知满足条件.

故选：

12. 若正数a，b满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.

【详解】A选项：根据基本不等式，

，

当且仅当时，等号成立，故A对；

B选项：因为，所以，

所以，，

同理，，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，故B对；

C选项：因为，所以，

所以，

又因为，，

所以，，，，，

所以，故C对；

D选项：，所以，化简得，

当且仅当时，等号成立，故D错误；

故选：ABC.

二.填空题

13. 已知集合 ​, 用列举法表示为________

【答案】

【解析】

【分析】根据，化简求解即可．

【详解】因为, 可知，

解得，所以.

故答案为： .

14. 已知​，设​，则​的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】确定，根据题目条件得到答案.

【详解】令​，则​，，

​①，

​，故​，

​得​.

故答案为：.

15. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.

【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.

当即时，，符合题意.

当即时， 解得.

故答案为：

16. 若对于任意​，不等式​恒成立，设​，则​取值范围为________

【答案】

【解析】

【分析】变换得到​恒成立，构造，计算函数值域，得到，换元得到，即，计算范围即可.

【详解】对于任意​，不等式​恒成立，

即当​时，不等式​恒成立，

设​，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，，

​的值域为​，

所以原不等式恒成立，等价于​，即​，

设​，则​，所以​，

故​，

当​时，​，显然当​时​，

而​，故​，故此时​；

当​时，​，显然​.

综上所述：

​的范围是​.

故答案为：.

三．解答题

17. 已知全集 .

（1）求集合；
 

（2）若集合，求实数的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；

（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.

【小问1详解】

，

所以，；

【小问2详解】

由（1）得，

又，所以，

所以，得.

18. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.

（1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.

（2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.

【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为   

（2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大, 最大值为

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可；

（2）利用基本不等式求积的最大值即可.

【小问1详解】

由已知可得，而篱笆总长为.

又，当且仅当，即时等号成立.

菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为.

【小问2详解】

由已知得，而菜园面积为，

则，当且仅当即时取等号.

菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为.

19. 已知 ​，且​.

（1）求证：；

（2）求​的最小值以及此时的​的值

【答案】（1）证明见解析   

（2）最小值为​，​

【解析】

【分析】（1）变换得到，展开利用均值不等式计算得到证明.

（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【小问1详解】

​，则​.

​，

当且仅当，​时取等号，即​.

【小问2详解】

​.

当且仅当，即​时取等号.

于是​的最小值为​，此时​.

20. 关于​不等式​.

（1）若​，求不等式的解集.

（2）若不等式的解集为，求实数​的取值范围.

【答案】（1）​   

（2）​.

【解析】

【分析】（1）将代入不等式，解得答案.

（2）考虑和两种情况，解不等式得到答案.

【小问1详解】

，则，即，故，

不等式的解集为：.

【小问2详解】

当​，即​时，原不等式为​，解集为​；

当​时，由题意，得，解得 ​.

综上所述：

​的取值范围为​.

21. 关于 ​的一元二次方​恒有两个实数根​.

（1）当 ​且两个根皆为负时, 求实数​的取值范围.

（2）不等式 ​恒成立, 求实数​的最大值.

【答案】（1）​   

（2）​

【解析】

【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解.

【小问1详解】

当 ​时, 方程化为​

由已知有 ​

所以实数 ​的取值范围为​

【小问2详解】

​

此时​

​

​

则 ​的最大值为​.

22. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.

（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.

（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.

（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.

【答案】（1）有4个元素，有7个元素   

（2）个，11个   

（3）13，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.

（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.

（3）根据已知新定义, 分类讨论、列举进行求解、证明.

小问1详解】

因为，，

所以有4个元素，有7个元素.

【小问2详解】

最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.

可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为，

则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成.

最小值：不妨设，显然有，则

，

则至少有11个元素.

可能的构造如下：，等比数列即可.

【小问3详解】

中至少有13个元素，可能的构造如下：

，所以

证明如下：

考虑对集合A进行分类：，，，

设，，，.

设，再对集合B进行分类：

，，，

设，，.分析，，与，，关系：

对集合中的元素：，则

则①

对集合中的元素：；②

对集合中的元素：，则

则③

①+②+③得到

注意到：当时，

当时，

（均值不等式）

从而元素个数至少为13.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.