中考数学二轮复习模块一数与式二次根式题型练含解析答案

二次根式 题型练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．下列各式中是二次根式的是（  ）

A． B． C．- D．2

2．当时，化简（    ）

A． B． C． D．

3．若a为正数，则有（    ）

A．a＞ B．a＝ C．a＜ D．a与的关系不确定

4．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ）

A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2

5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

6．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则等于（    ）

A．a B． C． D．

8．当x     时，是二次根式．

9．当代数式有意义时，x应满足的条件是         

10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝    

11．在二次根式，，，中，是最简二次根式的是     ．

12．实数(2﹣)的倒数是     ．

13．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=     ．

14．当x＝        时，的值最小．

15．若y＝＋＋1，则xy＝     ．

16．当1<a<2时，代数式的值为         ．

17．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为      .

18．计算：=    ．

19．已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是        ．

20．已知x=+1，则代数式x2﹣2x+1的值为    ．

21．计算：4×2÷．

22．计算：

23．已知．

（1）求代数式的值；

（2）求代数式的值．

24．计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

25．已知a＝2＋，b＝2－．求a2b＋ab2的值．

26．设a＝－1＋，b＝－1－，求a2－b2，a2－2ab＋b2的值．

27．已知二次根式–

（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；

（2）已知–为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．

28．一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式，求第三条边上的高的长度．

29．已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a－|＋（b－）2＝0

（1）求a，b的值；

（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．

30．已知a，b为实数，且－（b－1）＝0，求a2014＋b2015的值．

31．求代数式a+的值，其中a＝−2020．如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　 　的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；

（3）求代数式a+2的值，其中a＝−2019．

参考答案：

1．C

【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．

【详解】A、是三次根式；故本选项不符合题意；

B、-1＜0，无意义；故本选项不符合题意；

C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；

D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如（a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．

2．B

【分析】先确定是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．

【详解】解：，

当时，，而，

所以．

原式＝，

故答案选择B．

【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．

3．D

【分析】根据的取值范围，对和的大小关系分情况进行分类讨论即可解决．

【详解】解：当时，；

当时，；

当时，；

所以，与的关系不确定，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是：掌握二次根式的意义和性质．

4．C

【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．

【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，

∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；

a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；

ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；

∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，

∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．

5．B

【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案．

【详解】解：因为，，，，

所以与是同类二次根式，

故选：B．

【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键．

6．B

【分析】直接利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算进行判段．

【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；

B、，故选项正确，符合题意；

C、，故选项错误，不符合题意；

D、，故选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式化简和二次根式的加减运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则．

7．B

【分析】根据实数与数轴的关系确定a和b的符号，再化简即可．

【详解】解：观察数轴可知：b＜0＜a，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简、实数与数轴．

8．x>

【分析】主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【详解】解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：

-（1-3x）＞0

即x＞，

所以自变量x的取值范围是x＞．

【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式有分母时，还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．

9．．

【分析】直接利用二次根式有意义条件和分数有意义求出x的取值范围．

【详解】解：代数式有意义，

可得：，

解得，

故答案为．

【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．

10．

【分析】依据可得到，即可化简．

【详解】解：由题意可知：

，

，

原式，

故答案是：．

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是：掌握二次根式的性质及绝对值的性质．

11．,

【分析】利用最简二次根式定义判断即可．

【详解】最简二次根式的是,，

【点睛】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.

12．

【分析】先根据倒数的定义写出(2﹣)的倒数，再分母有理化即可．

【详解】解：()的倒数是,

故答案为：．

【点睛】本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．

13．2

【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．

【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，

∴a+1=3，解得：a=2．

故答案为2．

【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

14．3

【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案．

【详解】解：∵有意义，

∴

∴当，即时的值最小，最小值为0．

故答案为：3．

【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．

15．．

【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解．

【详解】解：由题意得： ，

解得x＝ ，

∴＝1，

∴．

故答案为．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键．

16．1

【分析】利用二次根式和绝对值的性质进行化简．

【详解】解：原式，

∵，

∴原式．

故答案是：1．

【点睛】本题考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是根据a的取值范围去绝对值进行化简．

17．2

【分析】根据最简二次根式的定义求解即可.

【详解】解：∵a是正整数，且是最简二次根式，

∴当a=1时，，不是最简二次根式，

当a=2时，，是最简二次根式，

则最小的正整数a为2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

18．4

【详解】原式=（）2﹣12

=5﹣1

=4．

故答案为4

19．2

【分析】根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于a的方程7﹣2a=3，再解方程可得答案．

【详解】解：由题意得：

故答案为2．

【点睛】本题考查了同类二次根式，解题关键是利用同类二次根式得出关于a的方程．

20．2

【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．

【详解】解：原式为：

，

将代入上式，

原式

故答案为：2．

【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键．

21．24.

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算即可得出答案．

【详解】解：原式=8÷

=8×3

=24．

【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．

22．

【分析】先将各二次根式进行化简，然后再合并即可．

【详解】

=

=

【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，将各二次根式进行化简是解答酷暑珠关键．

23．（1）；（2）2019

【分析】（1）利用完全平方公式进行计算；

（2）将已知条件进行变形得到，两边同时平方，再通过等量代换计算．

【详解】解：⑴∵，

∴，

∴．

⑵∵，

∴，

∴两边同时平方得，

∴，∴．

∴两边同时乘以得：．

∴原式．

【点睛】本题考查完全平方公式、代数式的求值，灵活运用完全平方变形是关键．

24．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则计算出答案；

（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算出答案；

（3）直接利用二次根式的加减运算法则计算出答案；

（4）利用二次根式的加减乘除混合运算法则计算出答案；

（5）利用零指数幂、去绝对值符号、二次根式的除法计算出答案．

【详解】解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算、零指数幂、去绝对值符号、解题的关键是：掌握相关的运算法则．

25．4

【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．

【详解】解：∵a＝2＋，b＝2－，

∴ab==1，a+b=4，

∴a2b+ab2

=ab（a+b），

=1×4

=4．

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．

26．-4；12．

【分析】根据a、b的值计算出a+b、a-b的值，再将所求代数式因式分解，代入即可得出答案．

【详解】解：∵a＝－1＋，b＝－1－，，

∴a+b=-1+-1-=-2，

a-b=（-1+）-（-1-）

=-1++1+

=2，

则a2-b2=（a+b）（a-b）=-2×2=-4；

a2-2ab+b2=（a-b）2=（2）2=12．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式．

27．（1）x≥2；（2）x=12，–5．

【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；

（2）先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可．

【详解】解：（1）要使–有意义，

必须x–2≥0，即x≥2，

所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；

（2）∵=，

所以x–2=10，解得：x=12，

这两个二次根式的积为：–×=–5．

28．或

【分析】根据二次根式的意义求出的值，然后利用等面积法求第三边上高的长度，需要进行分类讨论．

【详解】解：，

，

解得：，

当为直角边时，第三条边的为：，

由等面积法，

，

，

第三条边上的高的长度为．

当为斜边，为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：．

【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式有意义的条件、解题的关键是：熟悉二次根式有意义的条件．

29．（1）；（2）c的值为或4．

【分析】（1）根据绝对值与完全平方式非负性求出即可；

（2）分类讨论斜边与直角边两种情，利用勾股定理求解即可．

【详解】解：（1）∵，    ，

∴，

∴；

（2）当为某直角三角形的两条直角边时，

由勾股定理，

当为某直角三角形的斜边时，b,c为直角边，由勾股定理，

∴c的值为或4．

【点睛】本题考查非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化简，掌握非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化为最简二次根式的方法，利用绝对值与完全平方式非负性求出的值是解题关键．

30．

【分析】由已知条件得到，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，1+a≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2014+b2015的值．

【详解】解：∵，

∴，

∴1+a=0，1-b=0，

解得a=-1，b=1，

∴a2014+b2015=（-1）2014+12015=1+1=2．

【点睛】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．

31．（1）小芳；（2）被开方的数具有非负性；（3）2025．

【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；

（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；

（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．

【详解】（1）∵a＝−2020，

∴1−a＝1−（−2020）＝2021，

故小芳开方时，出现错误，

故答案为小芳；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，

故答案为被开方的数具有非负性；

（3）a+2

＝a+2，

∵a＝−2019，

∴a﹣3＜0，

∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，

即代数式a+2的值是2025．

【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．