吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三数学上学期第二次调研测试试题（Word版附解析）

这是一份吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三数学上学期第二次调研测试试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知：，则的充分不必要条件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，C符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 36【答案】B【解析】【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.【详解】因为正实数a，b满足，所以，即，当且仅当时，即时取等号.因为，所以，所以.故的最小值是16.故选：B3. 已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】当函数的值域为时，命题等价于函数的值域必须包含区间得解【详解】的值域为R令，则的值域必须包含区间当时，则当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，，解得，即实数的取值范围是故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4. 已知函数对，，满足，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先判断是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.【详解】由题意，得是R上的增函数，
则，解得，
故选：5. 已知定义在R上函数满足，且当时，，则（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根据函数满足，得到，再结合，得到，即的周期为4，然后利用周期结合当时，求解.【详解】因为函数满足，所以，又因为，所以，所以，又因为时，，则，.故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】..故选：A7. 已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得在有零点，利用导数研究函数的性质进而可得，即得.【详解】原问题等价于在有零点，而，∴，单调递减， ，单调递增，又，由可判断，因而的值域为，又有零点，有，所以.故选：D.8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数 在上没有零点，则 的取值范围是（ ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，∴周期，若函数在上没有零点，∴ ，∴ ，，解得，又，解得，当k=0时，解，当k=-1时，，可得，.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数，则下列结论正确的是（    ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】先化简，得到，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数.对于A：的最小正周期为.故A正确；对于B：，所以的图象关于直线对称.故B正确；对于C：，所以是的一个零点.故C正确；对于D：函数,所以的最大值为2.故D错误.故选：ABC10. 下列说法中错误的为A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若，则在方向上的正射影的数量为D. 三个不共线的向量，，，满足，则是的内心【答案】AC【解析】【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A不正确；对于B，向量，，，，向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，若，则在上的投影为，故C错误；对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，由，可知垂直于角的外角平分线，所以，点在角的平分线上，同理，点在角平分线上，点在角的平分线上，故点是的内心，D正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）A. 函数为周期函数，且最小正周期为B. 函数为偶函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的导函数的最大值为7【答案】CD【解析】【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数的导数，求出的最大值，可判断D选项的正误.【详解】对于选项A：因为，即，可知函数的最小正周期不为，故A错误；对于选项B：因为为奇函数，所以，所以也是奇函数，故B错误；对于选项C：因为，即，所以函数的图像关于直线对称，故C正确；对于选项D：因为，所以，因为的取值范围均为，可知，当时，，所以的最大值为7，所以D正确．故选：CD．12. 设函数，已知在有且仅有5个零点，则（   ）A. 在有且仅有3个极大值点B. 在有且仅有2个极小值点C. 在单调递增D. ω的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由在有且仅有5个零点，可得可求出的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为在有且仅有5个零点，如图所示，  所以，所以，所以D正确，对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，对于C，当时，，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以C正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：，∴，当且仅当时等号成立.故答案为：.14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为，则边的值为________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角的值，再利用正弦定理可得，结合的面积求出边的值.【详解】解：，，即，由正弦定理角化边得，，由正弦定理，即，化简得，又的面积为解得故答案为：.15. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】用表示，利用这两者共线可求，求出后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为，故，所以，而，因为与为非零共线向量，故存在实数，使得，故，所以，所以，由的面积为可得，故，所以，当且仅当时等号成立.故，故答案：.【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.【详解】因为经过点和，所以，，可得，故.因为，所以，所以，当时，，可得，所以，要使恒成立，只要，即，又，从而；当时，；当时，，所以，所以，要使恒成立，只要，解得，又，从而.综上所述，a的取值范围为.故答案为：【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数在处的切线为.（1）求实数的值；（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）减区间为增区间为【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）依题意可得：又函数在处的切线为，解得：（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴的单调减区间为的单调增区间为.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．18. 已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求取值的集合.【答案】（1）函数 的单调递减区间为；（2）取值的集合为.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，利用正弦函数的单调性解不等式即可求得函数的单调递减区间；（Ⅱ），即 ，由正弦函数的性质得，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（Ⅰ） ，因为周期为，所以，故，  由，得，函数 的单调递减区间为，（Ⅱ），即 ，由正弦函数得性质得， 解得所以，则取值的集合为.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．  （1）求线段MN的长度；（2）若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．【答案】（1）千米    （2）千米【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理运算求解；（2）在中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而可得结果.【小问1详解】在中，由余弦定理得，，即，可得，所以线段MN的长度千米．【小问2详解】设，因为，所以，在中，由正弦定理得，因为＝，所以，因此＝，因为，所以，所以当，即时，取到最大值千米．20. 已知函数有两个极值点，.（1）求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为在上有两个实数根，，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合，代入化简式子，将问题转化，利用导数即可求解.【小问1详解】,有两个极值点，，则在上有两个实数根，，所以在上有两个实数根，，则解得，故的取值范围为，【小问2详解】由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在单调递减，故，因此在单调递减，故，故，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21. 设函数.（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.解析：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.即方程有两解，可得，所以.令，则，当时，，所以在上是减函数.当时，，所以在上是减函数.所以.又当时，；且有.数形结合易知：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22. 已知函数，.（1）求证：在上单调递增；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断导数在的取值范围，从而证明的单调性；（2）由题意可得，分离参数得到 ，求出导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问1详解】，，，由，有，，则，又，则.当时，，，所以  所以当时，，综上，在上单调递增.【小问2详解】.化简得.当时，，所以，设，  设，.，，，在上单调递增，又由，所以当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增，所以，故.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若恒成立，即；在定义域内，若恒成立，即.