湖南省衡阳市2023届九年级入学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省衡阳市2023届九年级入学考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了如图，若给出下列条件等内容，欢迎下载使用。
湖南省衡阳市2022-2023学年度九年级创入学考试试题
一．选择题（共13小题，满分39分，每小题3分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围应该是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．（3分）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（　　）
A．a＝6，b＝4，c＝10，d＝5 B．a＝3，b＝7，c＝2，d＝9
C．a＝4，b＝11，c＝3，d＝2 D．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
3．（3分）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）方程（x﹣2）2＝9的解是（　　）
A．x1＝5，x2＝﹣1 B．x1＝﹣5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝﹣7 D．x1＝﹣11，x2＝7
6．（3分）下列四个说法正确的有（　　）
①所有的直角三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰三角形都相似；④所有的菱形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，若给出下列条件：
（1）∠B＝∠ACD；（2）∠ACD＝∠ACB （3）；（4）AC2＝AD•AB
其中能独立判定△ABC∽△ACD的条件个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B． C．且k≠1 D．k且k≠1
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，路灯Q距地面8m，身高1.6m的小明从距路灯底部O点20m的A处，沿OA所在直线行走14m到点B处，则人影的长度（　　）

A．变短3.5m B．变长1.5m C．变长3.5m D．变短1.5
13．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为（　　）

A． B． C．3 D．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
14．（3分）已知（b≠0），则的值为　 　．
15．（3分）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2的值等于　 　．
16．（3分）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M，N，测得MN＝39m，则A，B两点间的距离是　 　m．

17．（3分）三角形的三边长分别为3、m、5，化简　 　．
18．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，2，△ADE的面积为8，则四边形DBCE的面积为　 　．

19．（3分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为　 　．
20．（3分）在△ABC中，若0，则∠C的度数是　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）计算：|﹣1|6cos30°﹣（π﹣2021）0．
22．（6分）用适当的方法解下列方程
（1）3（x﹣3）＝（x﹣3）2；
（2）﹣2x2+3x+1＝0．
23．（6分）先化简再求值：若，求的值．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b，求这个一元二次方程的另一根．
25．（8分）如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90°．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AC＝6cm，AD＝4cm，求AB的长．

26．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，那么每天可销售200件．现在采用提高销售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．
（1）若这种商品涨价2元时，直接写出其销售量；
（2）若设这种商品的销售价为每件x元（x＞10），每天的销售利润为w元．
①要使每天获得的销售利润700元，请你帮忙确定销售价；
②问销售价x（元）定在多少元时能使每天获得的销售利润最大？并求出此时的最大利润w（元）．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝24cm．动点P从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4cm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发．
（1）经过几秒，△PCQ的面积为32cm2？
（2）若设△PCQ的面积为S，运动时间为t，请写出当t为何值时，S最大，并求出最大值；
（3）当t为何值时，以P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

28．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）求的值．
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．


湖南省衡阳市2022-2023学年度九年级创新班入学考试答案
一．选择题（共13小题，满分39分，每小题3分）
1．
解析：解：要使二次根式有意义，则x﹣4≥0，
解得x≥4，
∴x的取值范围应该x≥4，
故选：C．
2．（
解析：解：A.6×5≠10×4，故本选项错误；
B.3×7≠2×9，故本选项错误；
C.4×3≠11×2，故本选项错误；
D.4×3＝2×6，故本选项正确；
故选：D．
3．
解析：解：A、7，原式计算正确，故本选项错误；
B、，原式计算正确，故本选项错误；
C、8，原式计算正确，故本选项错误；
D、32，原式计算错误，故本选项错误．
故选：D．
4．
解析：解：因为：B、2|x|；C、y；D、；这三个选项都不是最简二次根式．
故选：A．
5．
解析：解：开方得，x﹣2＝±3
解得x1＝5，x2＝﹣1．
故选：A．
6．
解析：解：①所有的直角三角形只有一个直角相等，相似还需要一个锐角相等，故本选项错误；
②所有的正方形，角都是直角，边对应成比例，所以都相似，故本选项正确；
③所有的等腰三角形两边对应成比例，但这两边的夹角不一定相等，故本选项错误；
④所有的菱形对应边成比例，但对应角不一定对应相等，故本选项错误．
所以只有②一个正确．
故选：A．
7．
解析：解：∵∠A是公共角，
∴（1）∠B＝∠ACD，则△ABC∽△ACD；能判定△ABC∽△ACD；
（2）∠ACD＝∠ACB，则△ABC≌△ADC重合，不能判定△ABC∽△ACD相似；
（3）；不能判定△ABC∽△ACD；
（4）∵AC2＝AD•AB，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴△ABC∽△ACD．能判定△ABC∽△ACD．
故选：C．
8
解析：解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3≥0，
解得k且k≠1．
故选：C．
9．
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴BE：DA＝BF：DF，
∵BC＝AD，
∴BF：DF＝BE：BC＝2：3．
故选：A．
10．
解析：解：∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，），
∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），
∴P2（3，），
∴2，
故选：A．
11．
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（kb+1）＞0，
∴kb＜0，
当k＞0，b＜0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
12．
解析：解：由题意得，，
，
解得AM＝5，
BN＝1.5，
5﹣1.5＝3.5米．
变短3.5米，
故选：A．
13．
解析：解：延长AB到D，连接CD，如图所示，
由题意可得，
AC，CD＝1，
∴sin∠A，
故选：A．

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
14． 解析：解：∵（b≠0），
∴设a＝2x，b＝3x，
则的值为：．
故答案为：．
15． 解析：解：∵方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1•x2＝2，
故答案为2．
16． 解析：解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MNAB，
∴AB＝2MN＝2×39＝78（m）．
故答案为78．
17． 解析：解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴m﹣2﹣（8﹣m）＝2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
18． 解析：解：∵DE∥BC，2，
∴△ADE∽△ABC，，
∴（）2，
∵△ADE的面积为8，
∴S△ABC＝18．
S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝18﹣8＝10，
故答案为：10．
19． 解析：解：由题意，有
2（1+x）2＝3．
故答案为2（1+x）2＝3．
20． 解析：解：∵0，
∴sinA0，tanB＝0，
则sinA，tanB，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75°．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21． 解析：解：|﹣1|6cos30°﹣（π﹣2021）0
＝1261
＝131
＝3．
22． 解析：解：（1）3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6；
（2）﹣2x2+3x+1＝0，
∵a＝﹣2，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×（﹣2）×1＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
23． 解析：解：原式•

，
当a1时，原式．
24． 解析：解：∵，
∴a＝2，
∴b＝﹣3，
∴原方程为2x2﹣3x+c＝0，
设方程另一个根为t，
∴1+t，
∴t，
即这个一元二次方程的另一根为．
25． 解析：（1）证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△ADB；
（2）由（1）得△ABC∽△ADB
∴，
∵AC＝6，AD＝4，
∴AB2cm．
26． 解析：解：（1）∵商品每涨价0.5元，其销量就减少10件，
∴当商品涨价2元时，销售量为：200160件；
（2）①设这种商品的销售价为每件x元（x＞10），根据题意列方程得：
（x﹣8）（200）＝700
解得：x1＝15，x2＝13，
∵提高销售价，减少进货量，
∴x＝15．
答：售价应定为15元；
②W＝（x﹣8）（200）＝﹣20（x﹣14）2+720
∵10＜x＜20，
∴当x＝14元时，每天获得的销售利润最大，此时的最大利润为720元．
27． 解析：解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积为32cm2．
由题意得，PC＝12﹣2x，CQ＝4x，
则（12﹣2x）×4x＝32
解得：x1＝2，x2＝4，
答：设经过2秒或4秒，△PCQ的面积为32cm2；
（2）∵出发时间为t，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PC＝12﹣2t，CQ＝4t
∴SPC•CQ（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，
S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36
则t＝3时，S的最大值为36cm2；
（3）当△PCQ∽△ACB时，
，即，
解得，t＝3，
当△PCQ∽△BCA时，
，即，
解得，t＝1.2，
综上所述，当t＝3或1.2时，以P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
28． 解析：解：（1）x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
在△AOB中，AB5，
∴sin∠ABC；

（2）根据题意，设E（x，0），则
S△AOEOA×x4x，
解得x，
∴E（，0）或（，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y＝kx+b，
则①，
解得 ，
∴解析式为yx；
②，
解得，
解析式为：yx，
在△AOE与△DAO中，，
，
∴，
又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根据计算的数据，OB＝OC＝3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，
所以点F与B重合，
即F（﹣3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为yx+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），
L解析式为yx，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（，），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN，勾股定理得出，AN，做A关于N的对称点即为F，AF，过F做y轴垂线，垂足为G，FG，
∴F（，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（，）；F4（，）．