初中数学：二次函数商品利润最大问题专练

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【例一】最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为y（元）。（1）求y与x之间的函数关系式；解：y=（x-20）w
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=-2x²+120x-1600；
（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：y=-2x²+120x-1600
=-2（x-30）²+200，
∴当x=30时，y有最大值200，
∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？解：当y=150时，可得方程：
-2（x-30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，（8分）
根据题意，x2=35不合题意，应舍去，
∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
【例二】与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间的函数关系式；解：把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：
解得：a=14；b=-24 ∴y=-x²+14x-24（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？解：当时，y最大=25∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元．
（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。解：当y=0时，有方程：x2-14x+24=0
解得：x1=2，x2=12．
所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数，因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．
【例三】某旅馆有30个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？解：设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．
∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．
∴y=（30-x）•5•（8+x）
=5（240+22x-x²）
=-5（x-11）²+1805．
因此，当x=11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。
【例四】某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。（1）商家一次购买这种产品多少，销售单价恰好为2600元？解：设件数为x，依题意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，
答：商家一次购买这种产品50件，销售单价恰好为2600元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；解：当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，
当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x²+700x
当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x∴函数关系式为：y=600x(0≤x≤10) 且x为整数y═-10x²+700x(10＜x≤50)且x为整数（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）解：由y=-10x²+700x可知抛物线开口向下，当x=35时，利润y有最大值，
此时，销售单价为3000-10（x-10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元．
【例五】在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备 ，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：。（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？解：∵25＜28＜30，y= 40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30＜x≤35)∴把x=28代入y=40-x得，∴y=12（万件），
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？解：①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，
故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-1/2 x²+35x-625=- 1/2 （x-35）²-12.5故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。解：①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x²+61x-862.5≥67.5，-x2+61x-862.5≥67.5，
化简得：x2-61x+930≤0 解得：30≤x≤31，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；
②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-1/2 x²+35.5x-547.5≥67.5化简得：x2-71x+1230≤0解得：30≤x≤41，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤x≤35，
答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．