2022-2023学年天津市西青区当城中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年天津市西青区当城中学高一下学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市西青区当城中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数在复平面上对应的点为，则（    ）A． B．C． D．是纯虚数【答案】D【分析】根据题意，求出复数，再根据纯虚数和共轭复数概念，复数的模长公式逐项判断即可.【详解】复数在复平面上对应的点为，A选项，由复数的几何意义可知，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C错误；D选项，，则是纯虚数，D正确.故选：D.2．经过旋转可以得到图中几何体的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，根据圆锥和圆台是由直角三角形、直角梯形绕着相应的轴旋转而来判断.【详解】上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以一直角边所在的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形以垂直于两底的腰所在的直线为轴旋转一周得到，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A符合.故选A.【点睛】平面图形绕着某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成.3．如图所示，在平行四边形中，等于 A． B．C． D．【答案】C【解析】根据平行四边形的性质，利用，化简原式即可得结果.【详解】因为在平行四边形中，，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.4．若的面积为，，，则边的长度等于（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由面积公式得，再由余弦定理得．【详解】解：∵的面积为，，，∴由正弦定理的面积公式，得，即，解之得，由余弦定理，得，∴（舍负），故选：C．5．已知向量，若向量与向量垂直，则的值为（    ）A．18 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用向量垂直数量积为0，求出即可.【详解】向量，又与垂直，，解得：.故选：A6．如图，在中，D为AB的中点，若P为CD上一点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加减法运算法则、共线向量的表示、以及平面向量基本定理可求解.【详解】由题可知，三点共线，所以可设,又因为所以,所以所以.故选:A.7．在中，内角满足，则的形状为（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【答案】B【分析】根据得到，求出，得到三角形形状.【详解】，故，即，因为，所以，故为等腰三角形.故选：B8．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（    ）  A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，所以的底．腰，在中为直角三角形，高．所以直角三角形的面积是．故选:D．9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（    ）．A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米【答案】B【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知，.在中，由正弦定理得,即.故选:B11．在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求点到的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把到的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中的长度，比较三个值的大小后即可得到结论．【详解】将长方体展开共三种情况如下：（1）：；（2）：；（3）：，所以从点沿表面到点的最短路程为.故选：C.【点睛】本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力以及数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．12．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，则，，，，故选：B． 二、填空题13．已知，则点的坐标为          .【答案】【分析】设点的坐标为，从而可得，求出，从而得出点的坐标.【详解】设点的坐标为，因为，即，所以，所以，即，故答案为：.14．i是虚数单位，复数           .【答案】4–i    【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知向量与的夹角是，且，则        ．【答案】2【分析】先求出，即可求出.【详解】因为向量与的夹角是，且，所以.所以.故答案为：216．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是  .【答案】2.【分析】设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.【详解】解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，所以，，故，故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.17．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是         .【答案】①②③④【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示：对于①，因为，平面AEND，平面AEND，所以平面AEND，命题①正确；对于②，，平面ABFE，平面ABFE，所以平面ABFE，命题②正确；对于③，，面，面，，面，面，所以面，面，又，BD、平面BDN，所以平面平面AFN，命题③正确；对于④，，面NCF，面NCF，，面NCF，面NCF，所以面NCF，面NCF，又，BD、平面BDE，所以平面平面NCF，命题④正确．故答案为：①②③④．18．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是    (填序号).【答案】④【分析】利用过正方体中心的截面形状求解.【详解】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时得②；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①；但无论如何都不能截出④；故答案为：④ 三、解答题19．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥的表面积；(2)三棱锥的体积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可；（2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可.【详解】（1）∵是正方体，∴，∴三棱锥的表面积为．（2）三棱锥，，，是完全一样的．且正方体的体积为，故．20．设复数.（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0列式求出的值，进而可；（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组得答案.【详解】（1）若为纯虚数，则，所以，故，， ；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，则， 得.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，是基础题.21．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱的中点.求证：  (1)(2)平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得为平行四边形，从而可证明结论.（2）要证平面，可证，由（1）即可得证.【详解】（1）证明：四棱锥的底面是平行四边形，，又分别为的中点，，四边形为平行四边形..（2）证明：由（1）知，又平面平面，平面.22．在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1.(1)求证：平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角.【答案】(1)证明见解析(2)60° 【分析】（1）结合三角形的中位线以及线面平行的判定定理来证得平面ACD；（2）作出异面直线AC与BD所成的角，并求得其大小.【详解】（1）由题意，E，F分别是AB，BC的中点，所以.因为平面ACD，平面ACD，所以平面ACD.（2）由（1）知.因为F，M分别是BC，CD的中点，可得.所以即为异面直线AC与BD所成的角（或其补角）.在中，EF＝FM＝EM＝1，所以为等边三角形，所以∠EFM＝60°，即异面直线AC与BD所成的角为60°.23．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，故．