高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教课课件ppt

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1.理解数列及其有关概念,提升数学抽象核心素养.2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,提升逻辑推理和数学运算核心素养.3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式,提升逻辑推理核心素养.4.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系.
1.数列及其有关概念一般地,我们把按照　确定的　顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用　an　表示.其中第1项也叫做　首项　. 数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
微思考1 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗?提示:不是,因为顺序不同.
2.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为　an=f(n)　.与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示. 微思考2 数列an=f(n)的图象与函数y=f(x)的图象有什么区别?提示:数列{an}的图象是一系列孤立的点,函数y=f(x)的图象是连续的曲线或折线等.
4.通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 通项公式 .微思考3 是不是所有数列都能写出通项公式?若数列有通项公式,则通项公式的表达式是唯一的吗?提示:不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式,则通项公式的表达式不一定唯一.
一 数列的概念及分类
典例剖析1.下列数列既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
规律总结 处理数列分类问题的技巧(1)有穷数列与无穷数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列的项数.若项数有限,则该数列是有穷数列,否则为无穷数列.(2)递增数列与递减数列①观察从第2项起,数列中每一项与其前一项的大小关系,依据定义进行判断;②由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低),则图象呈上升(下降)趋势,即为递增(减)数列.
学以致用1.下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列?(1)2 014,2 016,2 018,2 020,2 022;
(4)9,9,9,9,9,9.解:(1)(4)是有穷数列;(2)(3)是无穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列.
二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
解:(1)观察发现各项分别加上1后,数列变为2,4,8,16,32,…,新数列的通项公式为2n,故原数列的通项公式为an=2n-1.
(3)所给数列有这样几个特点:①符号正、负相间;②整数部分构成奇数列;③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方;④分数部分的分子依次大1.由所给的几项可得数列的通项公式为
规律总结 1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系,具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理正、负号.(4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答.
2.熟记一些基本数列的通项公式,如:(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=(-1)n.(2)数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2.
学以致用2.写出下列各数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9 999,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;
(4)3,5,9,17,33,….
三 数列的通项公式的应用
典例剖析 3.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项;(2)-49是不是该数列的一项?如果是,是哪一项?68是不是该数列的一项呢?
解:(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
互动探究1.(变结论)若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项;(2)20是不是该数列的一项?若是,是哪一项?解:(1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=- (舍去),故20是该数列的第10项.
2.(变条件,变结论)若将例题中的“an=3n2-28n”变为“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性.解:∵an=n2+2n-5,∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3.∵n∈N*,∴2n+3>0,∴an+1>an.∴数列{an}是递增数列.
规律总结 1.由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.2.判断一个数是否为该数列中的项,可令通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.3.在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件.
学以致用3.已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍.(1)求这个数列的第4项与第25项;(2)253和153是不是这个数列的项?如果是,是第几项?
1.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　)A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…答案:D
答案:A解析:当n分别等于1,2,3,4时,数列{an}的前4项依次为1,0,1,0.
3.已知数列{an}满足a1>0,2an+1=an,则数列{an}是(　　)A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不对答案:B
A.第28项B.第29项C.第30项D.第31项答案:B