【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--3.2函数基本性质 综合练习（含解析）

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函数基本性质综合练习答案
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性的定义判断.
【详解】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
B. 则为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；
故选：D
2．若，则“”是“”的（    ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】举出反例，证明出充分性和必要性均不成立.
【详解】不妨设，满足，但不满足，充分性不成立，
若，满足，但不满足，故必要性不成立，
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ）
A． B．(2，3)
C．(1，2) D．(1，3)
【答案】A
【分析】根据函数的单调性有，即可求a的取值范围.
【详解】∵是定义在R上的增函数，且，
∴，解得，则a的取值范围为．
故选：A．
4．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，可排除B、D；再结合基本不等式和二次函数的性质求得A、C的函数最大值，看是否为1，进而判断.
【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数和都不满足，故排除B、D；
而的图象过点，，，
且时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为2，
又“心形”函数的最大值为1，故排除A；
由的图象过点，，，
且时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为1，满足题意，故C满足.
故选：C．
5．函数的图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断.
【详解】时，恒成立，故C错误；
且时，，当且仅当时取等，
故在有最大值2，故B、D错误；
故选：A.
6．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
7．函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由反比例函数的性质可知，从而推出所求函数的值域.
【详解】解：由反比例函数的性质可知：，则，故值域为.
故选：C.
8．已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.

【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.

9．若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】先得到函数的单调性，结合，，数形结合得到的取值范围，求出答案.
【详解】，故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
因为值域为，故，
所以的值可能是2,3,4.
故选：ABC
10．的单调增区间是______.
【答案】
【分析】先求函数定义域,再求复合函数中内外函数的单调性,根据同增异减原则,写出结果即可.
【详解】解:由题知,
由解得或,
故函数的定义域为或,
因为对称轴为,开口向上,
故在单调递减,在单调递增,
因为在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:.
故答案为:
11．函数的最小值为_________．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
12．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【答案】/
【分析】根据单调性的定义可知，函数在上递减，即可利用分段函数的性质解出．
【详解】不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．
故答案为：．
13．函数的单调递增区间是______．
【答案】
【分析】画出函数的图象求解.
【详解】函数的图象如图所示：

由图象知：其单调递增区间是，
故答案为：
14．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，，都有，则不等式的解集为___________.
【答案】/
【分析】设，则由可得，即在上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解出不等式即可.
【详解】设，则由可得
所以，所以
所以可得在上单调递增
因为函数是定义在上的偶函数，
所以函数是定义在上的奇函数
因为，所以，
所以当或时，当或时，
由可得当时，，，此时无解
当时，，，此时无解
当时，，，所以
综上：不等式的解集为
15．若函数的值域为，则的取值范围是_________
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式即可求得的取值范围.
【详解】当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以，则此时；
当时，，要使得的值域为，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________
【答案】
【分析】设，由题可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，再结合条件可得，即求.
【详解】设，
∵对任意的两个正数，都有，即，
∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数，
由得，即，
∴，又，
故的解集为.
故答案为：.
17．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)0；
(2)奇函数；
(3).

【分析】（1）令x＝y＝0，即可得答案；
（2）令y＝-x，结合(1)的结论即可判断；
（3）由题意可得，则原不等式等价于，由是定义在R上的增函数求解即可．
【详解】（1）令x＝y＝0，得，解得.
（2）因为函数的定义域为R，
令y＝-x，
则有，即，
∴函数为奇函数，
∴为奇函数；
（3）因为，
所以，
又因为，
即由，则，
即，
又因为为增函数，所以，解得，
故x的取值范围为．
18．已知函数.
(1)判断函数在的单调性，并用定义证明.
(2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)

【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）由（1）知函数在上单调递增，则最大值为，最小值为，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
因为，
则，
因为，所以，，，
所以，即，所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数的最大值为，最小值为，
所以，即，解得.
19．已知二次函数及一次函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)空集；
(2).

【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）根据任意性、存在性的定义，结合一次函数、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）当时， ，
即不等式的解集为空集；
（2）当时，，要想对使得成立，只需，
二次函数的对称轴为：，且开口向上，
当时，当时，单调递减，，
即，而，显然不可能；
当时，当时，在单调递减，在单调递增，，
即，显然满足，所以；
当时，当时，单调递增，，
即，而，显然不可能，
综上所述：实数的取值范围为
【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴的位置，结合单调性分类讨论是解题的关键.