初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转课时训练

这是一份初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转课时训练，共14页。试卷主要包含了解得x=1.25等内容，欢迎下载使用。

人教版2021年九年级数学上册 同步练习
旋转-旋转解答题专练
如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．


如图，在△ABC中，AB=AC.D 是BC上一点，且AD=BD．将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）连结DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．









如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．












如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是 ；
（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．






如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB/C/D/，点C的对应点C/恰好落在CB的延长线上，边AB交边C/D/于点E．
（1）求证：BC=BC/．（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．









如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．















直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？










将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=45°，将图①中的△DCE顺时针旋转得图②，点P是AB与CE的交点，点Q是DE与BC的交点，在DC上取一点F，连接BE、FP，设BC=1，当BF⊥AB时，求△PBF面积的最大值。










（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．












如图所示,已知正方形ABCD的对角线交于O点,O是正方形A′B′C′O ′的一个顶点,两个正方形的边长都为a,若正方形A′B′C′O绕点O任意转动. 试观察其重叠部分 OEBF的面积有无变化,请说明理由;若无变化,求出四边形OEBF的面积.













已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是 __．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边 PM 与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？















如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至△ABP/，连结PP/，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP’是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．







如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．














如图所示，正方形ABCD中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.
（1）若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，则旋转中心是点________ ，最少旋转了_______度；
（2）在（1）的条件下，若AE=3，BF=2,求四边形的面积.







如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．

（1）旋转中心是 ；
（2）旋转角是 度；
（3）如果连接EF，那么△AEF是 三角形．
（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．








已知△ABC是等腰三角形,AB=AC．
（1）特殊情形：如图1,当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
















参考答案
解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）∵AB==5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．


（1）证明：由旋转性质得∠BAD=∠CAE，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠DCA；
∴∠CAE=∠DCA，
∴AE∥BC．
（2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由旋转性质得AD=AE，
∵AD=BD，
∴AE=BD，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形．

解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．
∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，
∴AB=AD，AK=AM，∠BAK=90°﹣∠DAK，∠DAM=90°﹣∠DAK，
∴∠BAK=∠DAM，

∴△ABK≌△ADM（SAS）．
把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，
∴BK=DM且BK⊥DM．



解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；
（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,
得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,
所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,
即m范围为2＜m＜3．

解：（1）连结AC、AC/，如图．

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CC/．
由旋转，得AC=AC/，∴BC=BC/．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC,∠D=∠ABC/=90°．
∵BC=BC/，∴BC/=AD/．
由旋转，得AD=AD/，
∴BC/=AD/．
∴△AD/E≌△C/BE．
∴BE=D/E．
设AE=x，则D/E=2-x．在Rt△AD/E中，∠D/=90°，
由勾股定理，得x2-(2-x)2=1．解得x=1.25．
∴AE=1.25．

解：
（1）解：FG⊥ED．理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED；
（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形．



解：

解：∵∠ACB =90°，∠A=45°，∴∠A=∠ABC=45°,∴AC=BC=1.
∵BF⊥AB，∴∠CBF=45°.∴∠A=∠CBF.
由旋转的性质可得：∠BCF=∠ACP，∴△BCF≌△ACP(ASA).∴BF=AP。
∵∠ACB =90°，∠A=45°，AC =1，∴AB=。
设BP=x，则BF=AP=，∴。
∵，∴当x= 时，S（max）= 。

解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．
（2）将此时点P的对应点是点P′．

由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．

解:其重叠部分OEBF的面积无变化.
∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB, AC ⊥BD,∠OAE=∠OBF=45°.
∵四边形A′B′C′O为正方形,
∴∠C′OA′=90°,即∠BOF+∠BOE=90°.
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠BOF=∠AOE.在△OAE和△OBF中,OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF,
∴S△AOE=S△BOF.
∴S△AOE+S△OBE=S△BOF+S△OBE,即S△AOB=S四边形OEBF.
∵S△AOB=OA·OB=.
∴S四边形OEBF=.

解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直
故答案为相等且垂直．zhi
（2）成立，理由如下：
∵△MPN是直角三角形，
∴∠MPN=90°．
连接OB，
∴∠OBE=∠C=45°，
∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，
∴四边形EBFP是矩形，
∴BE=PF
∵PF=CF，
∴BE=CF，
∵OB=OC=0.5AC，
∴在△OEB和△OFC中，
BE＝CF，∠OBE＝∠OCF，OB＝OC
∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，
（3）如图，找BC的中点G，连接OG，
∵O是AC中点，
∴OG∥AB，OG=0.5AB，
∵AB=6，
∴OG=3，
∵OG∥AB，
∴△BHE∽△GOH，
∵EH：HO=2：5，
∴BE：OG=2：5，
而OG=0.5AB=3，
∴BE=1.2.

证明略；45°；
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
在△AQE和△AFE中，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．

解：（1） ，90.
（2）∵ △旋转后恰好与△重合，
∴ △≌△
∴
又
∴
∴

解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；
（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；
（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，
因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，
因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，
因为∠ADE′=∠ADF=90°，所以E'、D、F三点共线，
又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，
因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．

解：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，
（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，
（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，
在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．