初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定练习题

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北师大版数学 九上 第一章 1.1菱形的现在与判定测试卷B卷
一， 选择题（共30分）
1.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）

A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AE∥FC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形.
故答案为：C

2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE=（　　）

A．485 B．965 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：

∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD且平分对角线
又∵AC=16，DB=12
∴AO=8，BO=6，
∴AB=82+62=10
∵菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半，等于底乘高
∴16×122=10×DE
∴DE=485
故答案为：A．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，点A坐标为(6，0)，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转180°，旋转后点B的坐标为（　　）

A．(9，33) B．(−9，−33) C．(9，−33) D．(33，−9)
【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，点A坐标为（6，0），
∴OA=OC=BC=6，
又∵∠AOC=60°，
∴点C坐标为3，33，
∴点B坐标为3+6，33=9，33
绕原点O旋转180°后，点B关于原点对称，
∴旋转后点B的坐标为−9，−33.
故答案为：B.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC⋅EF的值为（　　）

A．10 B．910 C．15 D．30
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，

∵点A（9，0），点C（0，3），
∴OA=9，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=9，BC∥OA，∠COE=90°，
∵BF=OE=4，
∴CF=AE=9-4=5，
∴四边形AECF是平行四边形，
在Rt△OCE中，∠COE=90°，OE=4，OC=3，
∴CE=5，
∴CE=AE=5，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC·EF=2AE·OC=2×5×3=30.
故答案为：D.

5.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，E是对角线AC上的任意一点，则12CE+BE的最小值为（　　）．

A．3 B．23 C．2 D．23−1
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：过点B作BF⊥DC，垂足为F，BF交AC与点E．

∵菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，
∴BC＝2，∠FBC＝30°，∠DCA＝30°．
∴EF＝12EC．
∴BF＝BE+EF＝BE+12EC
由垂线段最短可知：当BF⊥DC，时，FB有最小值，即12CE+BE
∴最小值＝BF＝32BC＝32×4＝23
故答案为：B

6.一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和46，则这个平行四边形的面积为（　　）
A．146 B．206 C．35 D．406
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AC=10，BD=46，AB=7，
∴AO=OC=12AC=5，BO=OD=12BD=26，

∵52+(26)2=25+24=49=72，
∴AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴平行四边形ABCD的面积为12AC×BD=12×10×46=206，
故答案为：B.

7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=2，则四边形CODE的周长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，
所以OA=OD=OC=OB，∠AOD=60°，
所以△AOD是等边三角形，
所以OD=AD=2．
因为CE∥BD，DE∥AC，
所以四边形ODEC是平行四边形，
因为OD=OC，
所以四边形ODEC是菱形，
所以四边形的周长等于4OD=4AD，
因为AD=2，
所以四边形CODE的周长为8，
故答案为：C．

8.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E，F，连接DF，若∠BCD=70°，则∠ADF的度数是（　　）

A．60° B．75 C．80° D．110°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF=12∠BCD=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF=DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴DF=CF，
∴∠CDF=∠DCF=35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠ADF=110°-35°=75°，
故答案为：B．

9.如图，菱形ABCD中的边长为1，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，B′C′交CD于点E，连接AE，CC′，则下列结论：①ΔAB′E≌ΔADE；②EC=ED；③AE⊥CC′；④四边形AB′ED的周长为 3 +2.其中符合题意结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连结对角线 AC ， AC' ，∴∠BAC=30° ，

∵菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，
∴A ， B' ， C 三点共线，
A ， D ， C' 三点共线，
∴AC=AC'
∴∠ACC'=∠AC'C
由题目已知和菱形的性质可得： ∠ACD=∠AC'B'=30∘
∴∠ECC'=∠EC'C
∴CE=C'E
∴CE≠ED ，②不符合题意；
在 △ACE 和 △AC'E 中
AC=AC'CE=C'EAE=AE
∴△ACE ≌ △AC'E
∴∠B'AE=∠DAE
∴由 AB'=AD ， AE=AE
∴△AB'E ≌ △ADE
∴①符合题意；
∴AE 为 ∠C'AC 的角平分线，
∴AE⊥CC' （三线合一）
∴③符合题意；
∵AB=1 ，
∴AC=2×cos30∘×AB=2×32×1=3
在菱形ABCD中， ∠ACD=30∘
∠ABC=∠AB'E=120∘
∴∠B'EC=∠AB'E−∠ACD=120∘−30∘=90∘
∴在 Rt△B'EC 中，
CB'=3−1 ， B'E=sin30∘×CB'=3−12
∴四边形AB′ED的周长为： AB'+AD+B'E+DE
=2AB'+2B'E
=2×1+2×3−12
=3−1
∴④不符合题意
综上所述，正确的有①③，
故答案为：B

10．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 83 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为(　　)

A．2 B．2 3 C．4 D．4 3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 3 ，
∴AB=BC=4，AB•CE′=8 3 ，
∴CE′=2 3 ，
在Rt△BCE′中，BE′= 42−(23)2=2 ，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 3 ，
故答案为：B．
二． 填空题（共24分）
11.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　 　cm2．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是8×62＝24（cm2），
故答案为：24．

12.已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是　 　cm2
【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由已知得，菱形的面积为 3×4×12=6 cm2 ．
故答案为 6

13.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 AO=CO ， BO=DO ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件）.

【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.

14.中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD=12cm，AC=16cm，直线EF⊥AB交两对边与E、F，则EF的长为　 　cm．

【答案】485
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，CD∥AB，
∵BD=12cm，AC=16cm，
∴AO=12AC=8cm，BO=12BD=6cm ，
∴AB=AO2+BO2=10cm，
设AB边的高为h，
∴菱形ABCD的面积等于12AC×BD=AB×ℎ，
即12×16×12=10×ℎ，解得：ℎ=485，
∵EF⊥AB，
∴EF=ℎ=485cm．
故答案为：485

15.如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠A=60°．点E、F同时从A、C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B即停止）．点E的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，经过ts后△DEF恰为等边三角形，则此时t的值为　 　．

【答案】53
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，AD=AB，
∴∠ADB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AD.
若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，DE=DF，
∴∠ADE=∠BDF.
∵AD=BD，∠ADE=∠BDF，DE=DF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE=BF.
∵点E的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，
∴AE=2tcm，CF=4tcm，
∴BF=BC-CF=10-4t，
∴2t=10-4t，
解得t=53.
故答案为：53.


16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③SΔADF：SΔABC=1：4.其中正确的结论是　 　.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD=12AB=FE，AF=12AC=FC，DF=12BC=EC.
在△ADF和△FEC中，
AD＝FEAF＝FCDF＝EC，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=12AB=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵AB=AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=12BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴S△ADFS△ABC=（DFBC）2=14，结论③正确.
故答案为：①②③.

三． 解答题（共46分）
17.（8分）如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD⊥AB 于点 D ， AE 平分 ∠BAC ，分别交 BC 、 CD 于点 E 、 F ， EH⊥AB 于点 H ，连接 FH ，求证：四边形 CFHE 是菱形．

【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
AC=AH∠CAF=∠HAFAF=AF
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH ∥ CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF ∥ EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．

18.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE，CF．求证：∠AEB=∠F．

【答案】证明：∵菱形ABCD，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBF，
在ΔAEB和ΔBFC中，
AE=BF∠A=∠CBFAB=BC，
∴ΔAEB≌ΔBFC(SAS)，
∴∠AEB=∠F．

19.（10分）如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【答案】解：四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△OAE和△OCG中，∠OAE=∠OCGOA=OC∠AOE=∠COG ，
∴△OAE≅△OCG(ASA)
∴OE=OG．
同理可证OF=OH．
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH为菱形．

20.（10分）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】证明：如图，

∵AC平分∠BAM，AM∥BN，
∴∠1=∠2，∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴BA=BC．
又∵BD⊥AC于点O，
∴OA=OC．
在△AOD和△COB中，
∠2=∠3OA=OC∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)．
∴OD=OB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BA=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

21.（10分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC中点，AD=5，BC=12， CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.

（1）当x的值为　 　时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为　 　时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形；
（3）点P在BC上运动的过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
【答案】（1）3或8
（2）1或11
（3）解：点P在BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形，
理由如下：
①当点P在点E左侧时，如下图，过点D作DH⊥BC于点H，

∵CD=42，∠C=45°，
∴∠CDH=90°−∠C=45°，
∴∠CDH=∠C，
∴CH=DH，
在Rt△CDH中，由勾股定理可得CH2+DH2=2CH2=CD2=(42)2=32，
∴CH=DH=4，
∵E是BC的中点，BC=12，
∴CE=12BC=6，
∴EH=CE−CH=6−4=2，
∴在Rt△DEH中，DE=EH2+DH2=22+42=25，
∴AD≠DE，
即此时以P，A，D，E为顶点的四边形不能构成菱形；
②当点P在点E右侧时，如下图，过点D作DH⊥BC于点H，

由（1）可知，当BP=11时，四边形AEPD为平行四边形，
此时DH=CH=4，CP=BC−BP=12−11=1，
∴HP=CH−CP=4−1=3，
∴在Rt△DPH中，DP=DH2+HP2=42+32=5，
∴DP=AD=5，
∴四边形AEPD为菱形.
综上所述，点P在BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）分别过A、D作AP⊥BC于M，DN⊥CB于N

∵AD∥BC
∴APND是矩形，
∴AD=PN，
∵∠C=45°，CD=42，
∴CN=DN=DCsin45°=4，
∴BN=BC−CN=8，
∴BP=BN−PN=3，
当x=3时，点P，A，D，E为顶点的四边形为直角梯形，
当P与N点重合时，点P，A，D，E为顶点的四边形为直角梯形，
x=12−4=8，
故答案为：3或8；
（2）解：若以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE=5，
可有两种情况：
①当点P在点E左侧时，
∵E是BC的中点，BC=12，
∴BE=12BC=6，
∴BP=BE−PE=6−5=1；
②当点P在点E右侧时，
可有BP=BE+PE=6+5=11.
∴当x的值为1或11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形.
故答案为：1或11；