第21讲 相交线-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第21讲 相交线

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1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；
2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；
3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
知识精讲


知识点01 同一平面内两条直线的位置关系
同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.
【微点拨】
（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.

（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点.
【即学即练1】 平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？



知识点02 对顶角、补角、余角
1.余角与补角
（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．
类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
【微点拨】
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．
(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．
2.对顶角
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
【微点拨】
(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.
（2）性质：对顶角相等．
【即学即练2】如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∠2:∠1＝4:l，求．





知识点03垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．

【微点拨】
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

【微点拨】
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
【微点拨】
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【微点拨】
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【即学即练3】下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直.
②一条直线的垂线有无数条.
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【即学即练4】如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与
∠AOC的度数.










知识点04 同位角、内错角、同旁内角的概念
1. “三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
图1

【微点拨】
⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
【微点拨】
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【即学即练5】. 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．



知识点05 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征












【微点拨】
巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

【即学即练6】 如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？










能力拓展


考法01
1.在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.


考法02
3.如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角
4.如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？



5.若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2
6.下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1



分层提分


题组A 基础过关练
1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过O的射线，其中构成对顶角的对数 ( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( )
A．相等 B．互为补角 C．互为余角 D．相等或互补
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.如图，，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )
A．五条 B．二条 C．三条 D．四条




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5．如图所示，OC⊥OA，OD⊥OB，∠AOB＝150°，∠COD的度数为 ( )

A．90° B．60° C．30° D． 45°

6．∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是 （　　 ）
A. 相等　 B.互补 C. 相等或互补 D.不能确定

题组B 能力提升练
7．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是( ).
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
8．如图，能与构成同位角的有( ).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．下列命题中，真命题有（　　）
（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ).
A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ；
C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2.
11．如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角


12. 已知图（1）—（4）：





在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）
13.如图，下列结论正确的是（ ）.
A．∠5与∠2是对顶角； B．∠1与∠3是同位角；
C．∠2与∠3是同旁内角； D．∠1与∠2是同旁内角.






14.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是 （ ）.

15．如图，三条直线a，b，c交于一点，∠1，∠2，∠3的大小顺序是________．


16．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．

17．如图，请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．

(1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ；
(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．
18. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线线上，理由是________________．
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
19. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
【答案】0或1或2或3个；
【解析】当三条直线相互平行时0个交点；当三条直线交于同一点时1个交点；当两条直线平行，第三条直线与它们相交时有两个交点；当三条直线两两相交但没有交与同一点时3个交点．
20．如图，工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿________方向铺设水管用料最省，这是因为________．




题组C 培优拔尖练

21. 指出图中各对角的位置关系：
（1）∠C和∠D是　 　角；
（2）∠B和∠GEF是　 　角；
（3）∠A和∠D是　 　角；
（4）∠AGE和∠BGE是　 　角；
（5）∠CFD和∠AFB是　 　角．

22. 如图所示，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线．

(1)若∠AOC:∠COG＝4:7，求∠DOF的大小；
(2)若∠AOC:∠DOH＝8:29，求∠COH的大小．









23．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变? 请说明理由．




24．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些? 它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．