(暑期班)初升高数学衔接讲义第05讲 一元二次方程根的分布 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

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初高中衔接素养提升专题讲义第五讲   一元二次方程根的分布（精讲）【知识点透析】1、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。2、一元二次方程根的k分布分布情况两根都小于即两根都大于即一根小于，一大于即大致图象（a>0）得出的结论大致图象（a<0）得出的结论综合结论（不讨论a） 3、一元二次方程根在区间的分布分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）—————— 【知识点精讲】题型一 R上根的分布情况【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___.【答案】.【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根∴，∴解得：.【变式1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）A．        B．       C．       D．【答案】D【解析】因为关于的方程有两个不等的实根且，即：且，解得且.故选：D.【变式2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（    ）A．        B．且        C．        D．且【答案】B【解析】由题可知：，所以，又因为，所以且.故选：B.题型二 根的“0”分布【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C【变式1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为_______.【答案】【解析】首先，设方程的两根为，则，所以，又，解得．故答案为：．【变式2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.题型三 根的“k”分布【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】令由题可知：则，即，故选：C【变式1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】的两个根都大于，解得可求得实数的取值范围为，故答案为：【变式2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，设，根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为.题型四 根在区间上的分布【例4】关于x方程在内恰有一解，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】当时，，不合题意；∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，∴即可，则，故选：B【变式1】若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．【答案】（，＋∞）【解析】设，由题意，解得，故答案为：．【变式2】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2.【变式3】．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：设，因为方程在上有两个不相等的实根，所以，解得．故选：． 
初高中衔接素养提升专题课时检测第五讲  一元二次方程根的分布（精练）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（   ）A．        B．C．        D．【答案】C【解析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实根，所以，即解得：或故选：C.2.一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根，，解得，故选：C3.若方程只有正根，则m的取值范围是（    ）A．或        B．        C．        D．【答案】B【解析】方程只有正根，则当，即时，当时，方程为时，，符合题意；当时，方程为时，不符合题意.故成立；当，解得或，则，解得.综上得.故选B.4．设，是关于的方程的根．若，，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意知，函数开口方向向上，若，，则函数须同时满足三个条件：当时，，代入解得，恒成立；当时，，代入解得，；当时，，代入解得，综上，实数的取值范围是．故选：．5．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：一元二次方程有两个实数根，，且，令，则，即，解得，，．故选：．二、填空题6.若关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，令，则，解得，7.已知方程x2－a2x－a＋1＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1，x2＞1.则实数a的取值范围是        ．【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.依题意有解得a＜－2.8.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是        ．【解析】　依题意有解得m＞4.9.关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是        ．【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.依题意有即解得m＜－.三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m的取值范围．【解析】方法一　设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图．若两实根均大于1，需即解得m≥25.方法二　设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，故有即解得11．求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.【解析】（1）设．依题意有，即，得．（2）设．依题意有，解得．（3）设．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得，即②有一个正根，一个负根，此时可得，得．③有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得．12.已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，故方程的一个根大于1，另一个根小于1，则，解得，所以a的取值范围是．（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数的大致图象，由图知， ，解得．所以a的取值范围是．（3）方程的两个根都大于0，则 ，解得，所以a的取值范围是．