2023年东北三省三校高考数学四模试卷

这是一份2023年东北三省三校高考数学四模试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年东北三省三校高考数学四模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.
C. ， D. ，，2.  已知是虚数单位，复数满足，则(    )A. 的实部为 B. 的虚部为
C.  D. 在复平面对应的点在第二象限3.  第二十二届哈尔滨国际经济贸易谈洽会简称“哈洽会”将于年月日至日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设本届“哈洽会”线下展览总面积共计万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为(    )

 A.  B.  C.  D. 4.  如图是北京年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示若圆半径均为，相邻圆圆心水平路离为，两排圆圆心垂直距离为设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为(    )

 A.  B.  C.  D. 5.  圆：与直线：交于、，当最小时，的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知锐角，满足，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  从某小学随机抽取名同学，将他们的身高单位：厘米数据绘制成频率分布直方图如图则下列结论正确的是(    )
A.
B. 身高落在内的人数为人
C. 若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取人．则身高在的学生选取的人数为人
D. 若将学生身高由高到低排序，前的学生身高为级，则身高为厘米的学生身高肯定不是级10.  已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则(    )A.  B. 的离心率为
C. 的短轴长的取值范围是 D. 的值越小，的焦距越大11.  如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿问上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(    )

 A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为12.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  的展开式中的系数是______ ．14.  如图，已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，点的坐标为，则______．
 15.  有理数都可以表示成，且，与互质的形式，进而有理数集可表示为任何有理数，都可以化为有限小数或无限循环小数反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数表示成的形式为______ ．16.  任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤第一次变成简称为步“雹程”当时，需要______ 步“雹程”；若经过步“雹程”次变成，则所有可能的取值集合 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列．
若，求满足条件的最大整数．18.  本小题分
三棱台中，平面，，且，，是的中点．
求三角形重心到直线的距离；
求二面角的余弦值．
 
19.  本小题分
将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
若，求函数在区间上的最大值；
若函数在区间上没有零点，求的取值范围．20.  本小题分
生产某种特殊零件的废品率为，在合格品中，优等品的概率为，若个此特殊零件中恰有件废品的概率为，设的最大值点为．
求；
若工厂生产该零件的废品率为．
(ⅰ)从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，，，，已知时优等品概率最大，求的最小值；
(ⅱ)已知每个零件的生产成本为元，合格品每件售价元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为，工厂希望一个零件至少获利元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．21.  本小题分
已知函数和有相同的最大值．
求；
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．22.  本小题分
已知双曲线：的渐近线方程为，焦距为，，为其左右顶点．
求的方程；
设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：解方程组可得或或，
又因为，，
则，，．
故选：．
解方程组可得集合．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，所以，
所以复数的实部为，虚部为，故A、B错误；
复数在复平面对应的点为，位于第一象限，故D错误；
，故C正确．
故选：．
根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再一一判断即可．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：依题意基本事件总数为种，其中产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件有种，
故产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率．
故选：．
首先求出基本事件总数，再利用捆绑法求出产业合作展区与龙江振兴展区相邻的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，
所以，

由已知可得，，，
所以，，，
所以．
故选：．
建立平面直角坐标系，做轴于点，可求出、、坐标，及、、，再由向量的坐标运算可得答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：直线：，即，
令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，

所以当时弦最小，因为，所以，即，解得．
故选：．
首先求出直线恒过定点，依题意当时弦最小，求出直线的斜率，即可得解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：取的中点，的中点，连接、，
因为是正三角形，所以，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
所以，所以与所成角的余弦值为．
故选：．
取的中点，的中点，连接、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题主要考查异面直线所成的角，考查运算求解能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以，所以，
即，即，
所以．
故选：．
利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及和差角公式的应用，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设，则，
所以函数为常值函数，设为常数，
又因为，则，即，
所以函数的图象关于直线对称，则，
因为，，
且函数、的定义域为，
所以，所以，则，
所以，所以，函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，
所以函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，故，
所以函数为偶函数，
因为，所以，，故，
在等式中，令可得，则，
在等式中，令可得，
在等式中，令可得，
所以，故，则，
所以，，，，
因此．
故选：．
设，可得出，则为常数，由可得出，再结合已知等式可推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值．
本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由频率分布直方图可得，解得，故A正确；
身高落在内的人数为人，故B正确；
样本中，，的频率之比为：：：：，
所以身高在的学生选取人，故C正确；
将学生身高由高到低排序，第分位数设为，则，解得，
因为，故身高为厘米的学生身高肯定是级，故D错误；
故选：．
根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，得到方程求出的值，即可判断，再根据频率分布直方图计算、，根据百分位数计算规则判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：曲线：为焦点在轴上的椭圆，
则曲线的标准方程为，其中，
因为的焦点在轴上，所以，即，故A正确；
的离心率为，故B错误；
的短轴长，当时，，故C正确；
的焦距，当时，；当时，，故D错误．
故选：．
先把椭圆的方程化为标准形式，然后根据椭圆的几何性质逐项求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，，，因此，不平行，
即不存在点，使得故A错误；
对于，如图：

取的中点，连接，，，，当时，
因为，即则，
而，，平面，
又，分别为，的中点，
即，于是平面，而平面，
则，故B正确；
对于，在翻折过程中，令与平面所成角为，
则点到平面的距离 ，
又的面积为，
因此三棱锥的体积为：，
当且仅当时，即平面时取等号，
所以三棱锥的体积最大值为，故C正确；
对于，当三棱锥的体积达到最大值时，
三棱锥外接球的球心为，
故球的半径为，则球的表面积为故D正确．
故选：．
由立体几何的线线平行，线面垂直判定定理，外接球的表面积公式逐项判断即可．
本题考查线线平行的判断，线线垂直的证明，三棱锥的体积的最值的求解，三棱锥的外接球问题，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，取，满足，但不满足，错；
对于，，
即，所以，当且仅当时，等号成立，对；
对于，，令，所以，
即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，对；
对于，，
令，由选项可知，，
而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，对．
故选：．
对于，取即可判断；对于，求得，再结合基本不等式即可判断；对于，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于，，再利用函数的单调性即可判断．
本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的综合应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，考虑展开式中的系数．
而展开式的通项公式为，
令，则，令，则，
故展开式中的系数为：
，
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式可求的系数．
本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：点的坐标为，，
又，且过，
：，整理得：；
设点的坐标，点的坐标，
由得：，
又的直线方程为，
，
联立与，消去得：，
，，
把代入解得，经检验，满足．
故答案为：．
由的坐标求出所在直线的斜率，进一步得到所在直线的斜率，可得直线方程，设出，的坐标，由得到，横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于的方程后利用根与系数的关系求解．
本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．是中档题．
 15.【答案】 【解析】解：无限循环小数．．
故答案为：．
把无限循环小数．化为数列求和即可得出答案．
本题主要考查了数列求和的运算问题，是基础题．
 16.【答案】   【解析】解：当时，对应的“雹程”为：
，共有步“雹程”，
因为经过步“雹程”第一次变成，倒推可得如下所有“雹程”，
，
故所有可能的取值集合，
故答案为：，．
根据题设给出的操作策略可求的“雹程”，利用倒退结合步“雹程”可求所有可能的取值集合．
本题主要考查了归纳推理，属于基础题．
 17.【答案】证明：由，得，
则，又，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，
，
则
．
由，得，
即，
为单调增函数，满足的最大正整数为．
即满足条件的最大整数． 【解析】把已知数列递推式两边取倒数，变形即可证明数列为等比数列；
由求得数列的通项公式，求和后利用数列的函数特性求解满足的最大整数．
本题考查数列递推式及等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前项和，考查数列的函数特性，属于中档题．
 18.【答案】解：，，，
过点作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
过点作，设，

．
则．
，，
，解得，
，．
即三角形重心到直线的距离为．
，，，
设为平面的法向量，
则，
取，则平面的法向量为，
设为平面的法向量，
则，
取，则平面的法向量，
，
由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为． 【解析】建立坐标系，点作，求出，进而得出三角形重心到直线的距离；
利用向量法得出二面角的余弦值．
本题主要考查点到直线距离的求法，二面角的求法，考查空间向量与立体几何的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，则解析式变为，
则，
当时，，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
在区间上的最大值为；
，当时，，
要使在上无零点，则，．
，，，，
当时，；当时，，
当时，舍去．
综上：的取值范围为． 【解析】由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；
由结合题意可知，后由可进一步确认大致范围，后可得答案．
本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意得：，

令，解得，令，解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，有最大值．
设优等品的个数为，则，
所以，，，，，，
易知先增后减，
若时，有最大值，则，
，的最小值为．
设工厂生产一个零件获利元，零件的修复费用为元，
则的可能取值为：，，，
，，，
，解得，
所以，一个零件需要修复费用为元． 【解析】由题意得，，利用导数求得的最值即可求解；
由题意得，可知，，，，，，利用函数单调性即可求得的最大值；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望的应用，是中档题．
 21.【答案】解：，，
又与有相同的最大值，
，且与的符号草图分别为：

在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
两函数的最大值与相等，
即，又，
；
证明：根据知当直线过两函数的交点时，满足题意，
设，直线与在的左边交点为，
直线与在的右边交点为，
则，
且，，，
，，
即，又，，且在上单调递增，
，
，又，
，即，
又，，且在上单调递减，
，
，
，
，
，，成等比数列．
故原命题得证． 【解析】根据导数分别求出两函数的最大值，再通过两最大值相等建立方程即可求解；
根据知当直线过两函数的交点时，满足题意，设，直线与在的左边交点为，直线与在的右边交点为，则，再利用指对同构及的单调性，即可证明，从而得，，成等比数列．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，数形结合思想，指对同构利用函数的单调性化简超越方程，等比中项的应用，属中档题．
 22.【答案】解：双曲线：的渐近线方程为，焦距为，
则，解得，
故双曲线的方程为；
证明：如图：

设，，，
直线：，即：．
记，代入中得：
．
所以，．
又因为直线：、直线：联立得：
．
．
．
．
即或舍．
所以．
所以，点轨迹为，以为圆心，为半径的圆上，
所以，． 【解析】由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；
设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．