2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  现藏于成都金沙遗址博物馆的太阳神身金饰是古蜀国黄金工艺辉煌成就的代表，它像征着中华民族追求光明、奋发向上的精神风貌如图为太阳神鸟金饰图案，下面对该图案描述正确的是(    )

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 不是轴对称图形，而是中心对称图形
C. 是轴对称图形，而不是中心对称图形
D. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形

2.  下列各式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  所给不等式在数轴上的表示，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题为真命题的是(    )

A. 如果，那么且
B. 两边分别相等的两个直角三角形全等
C. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
D. 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等

7.  下面关于平行四边形的说法中错误的是(    )

A. 平行四边形的两条对角线相等 B. 平行四边形的两条对角线互相平分
C. 平行四边形的对角相等 D. 平行四边形的对边相等

8.  如图，中，，平分交于点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  为了美化校园，学校决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配、两种园艺造型共个摆放在校园内，已知搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆设搭配种造型个，你认为下列符合题意的不等式组是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，，，，、、都是等边三角形下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为其中所有正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，▱中，，，点为中点，点为边上一点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

13.  因式分解：______．

14.  如图．中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为______．

15.  如图，直线经过和两点，则不等式的解集为______ ．

16.  已知，，以为圆心任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点已知，，则的面积为______ ．

17.  已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______ ．

18.  若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______．

19.  在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，给出如下定义：若点向上平移个单位，再向左平移个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，则的取值范围是______ ．

20.  在▱中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
因式分解：；
解不等式组：．

22.  本小题分
先化简再求值：，其中，．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为、、，绕原点顺时针旋转，得到，再将向左平移个单位得
．
画出，并写出点的对应点的坐标；
画出，并写出点的对应点的坐标；
点是的边上一点，经旋转，平移后点的对应点分别为、，请直接写出点的坐标．

24.  本小题分
已知：、、是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．

25.  本小题分
如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求平行四边形的面积．

26.  本小题分
成都龙泉是猕猴桃重要的产地之一，猕猴桃具有“果形美观、香气浓郁、酸甜爽口、风味独特、营养丰富”的独特品质，被广大消费者所喜爱今年当猕猴桃开始上市后，某销售商从批发市场中花费元采购大猕猴桃，元采购小猕猴桃，且大、小猕猴桃的重量相同，已知大猕猴桃比小猕猴桃的进价每千克多元．
求大猕猴桃和小猕猴桃的进价分别是每千克多少元？
若在运输的过程中大猕猴桃损失了，小猕猴桃损失了，在销售的过程中，小猕猴桃的售价为每千克元，若猕猴桃全部销售后利润不低于元，则大猕猴桃的售价至少为每千克多少元？

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数：与：分别经过轴上的点点，交于点，点为直线上一点．
求点的坐标；
若点的横坐标小于点的横坐标，连接，，当和的面积相等时，求点的坐标；
在上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

28.  本小题分
在中，，，，将绕着点顺时针旋转，得到．
如图，当点落在边上时，连接，求的长；
如图，连接，直线与交于点，求证：点是的中点；
在的条件下，点为中点，连接，在旋转的过程中，当时，则的值为多少？请直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称和中心对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称和中心对称的知识，熟练掌握轴对称和中心对称的知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项分母中含有字母，故该选项符合题意；
选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义判断即可．
本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意是数字．
 

3.【答案】 

【解析】本题考查了因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
根据因式分解的定义以及因式分解是恒等变形判断即可得出答案．
解：、等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、等号右边左边，故该选项不符合题意；
D、等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意．
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，应该是实心点，故不符合题意；
B、，在数轴上的表示正确，故符合题意；
C、，应该向左画，故不符合题意；
D、，应该向左画，故不符合题意．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．
 

6.【答案】 

【解析】解：、如果，那么或，原命题是假命题；
B、两直角边分别相等的两个直角三角形全等，原命题是假命题；
C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，原命题是假命题；
D、如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，是真命题；
故选：．
利用等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平平行线的性质等知识，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：
平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，
、、说法正确；
只有矩形的对角线才相等，故A说法错误，
故选：．
利用平行四边形的性质进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，，
；
又平分交于点，
，
．
故选：．
根据角平分线的性质，依据，，可求得中三个内角的度数，然后根据三角形的外角性质可求出．
主要考查了等腰三角形的性质．解题时，需要熟知三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件．
 

9.【答案】 

【解析】解：设搭配种造型个，则种造型个，
根据题意，得，
故选：．
设搭配种造型个，则种造型个，根据“现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配、两种园艺造型”及“搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆”列出关于的不等式组即可得出答案．
本题考查了有实际问题抽象出一元一次不等式组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：．
连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，根据，从而，由勾股定理得，于是得到结论．
本题考查作图基本作图，掌握尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是直角三角形，
，
，
故正确；
，都是等边三角形，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
同理可证：≌
，
四边形是平行四边形，
故正确；
，
故错误；
过作于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故错误．
正确的结论是，
故选：．
由，得出；，由推出≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形；由平行四边形的性质得；求出的长即可求出．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线、交于点，，
，
在上截取，连接，取的中点，连接、，
，
，
，
，
，，，，
延长到点，使，连接，则，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的对角线、交于点，，得，在上截取，连接，取的中点，连接、，可证明，根据三角形的中位线定理得，，，，延长到点，使，连接，则，可证明是等边三角形，则，，再证明，则，所以．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由旋转得：，，，
，，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再利用旋转的性质可得，，，从而求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线经过和两点，不等式的解集为．
故答案为：．
可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点．
平分，，，
，
的面积．
故答案为：．
过点作于点利用角平分线的性质定理判断出，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：关于的二次三项式可分解为，
，，
即，，
．
故答案为：．
，根据以上内容得出，，求出、，再求出答案即可．
本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键．
 

18.【答案】且 

【解析】解：去分母得，
解得，
分式方程的解为非负数，
且，
即且，
解得且，
的取值范围为：且．
故答案为：且．
先去分母，把方程化为整式方程，解得，再根据分式方程的解为非负数且分母不能为，则且，然后解关于的不等式组即可．
本题考查了分式方程的解：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
 

19.【答案】 

【解析】解：直线向上平移个单位，再向左平移个单位后得到，
把代入得，解得，
．
故答案为：．
由在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，可知在直线上，求得直线经过点时的的值，即可求得的取值范围．
本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够理解题意是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，过点作于点，

则，
由翻折得到，
，
又点为中点，
，
，
在和中，

≌，
，
，
要求的最小值，只要求的最小值即可，
当，，三点在一条直线上时，取最小值，
此时，
即的最小值为．
在中，
，，
，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，利用三角函数定义求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可．
本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键．
 

21.【答案】解：

；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】利用提公因式法进行分解，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，因式分解提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：


，
当，时，
原式． 

【解析】先通分，再把除法化为乘法计算，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求，；
如图所示，即为所求，；

，
，
． 

【解析】根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据中心对称以及平移变换的性质，结合点的坐标以及网格即可求解．
本题考查了旋转变换的性质，平移变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：是等腰三角形．理由：
，
．
．
．
、、是的三边，
．
．
是等腰三角形． 

【解析】变形已知等式并分解，根据三角形的三边关系和积为零知识可得结论．
本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式和提取公因式法是解决本题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：作于，

，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
平行四边形的面积为． 

【解析】利用翻折的性质和平行线的性质可得，即可证明结论；
利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理列方程求出的长，即可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：设大猕猴桃进价为每千克元，小猕猴桃的进价为每千克元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：大猕猴桃和小猕猴桃的进价分别是每千克元和元；
猕猴桃的重量为：千克，
设大猕猴桃的售价为每千克元，根据题意可得：
，
解得：，
答：大猕猴桃的售价至少为每千克元． 

【解析】设大猕猴桃进价为每千克元，小猕猴桃的进价为每千克元，根据“大、小猕猴桃的重量相同”分式方程，求解即可；
设大猕猴桃的售价为每千克元，根据“猕猴桃全部销售后利润不低于元”列出一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

27.【答案】解：把代入得：
，
解得，
一次函数：，
把代入得：
，
解得，
：，
联立，
解得，
点的坐标为；
设直线交轴于，如图：

，，
，
，
在中，令得，
，
，
，
，且，
在轴右侧，
，
，
解得，
在中，令得，
的坐标为；
在上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，理由如下：
设，，
又，，
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或 

【解析】把代入得，一次函数：，同理：，联立解析式可解得，点的坐标为；
设直线交轴于，求出，，可知在轴右侧，，故，解得，从而的坐标为；
设，，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，分别列方程组可解得的坐标为或
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
 

28.【答案】解：如图，过点作的延长线于，
则，

，，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，；
证明：如图，过点作交的延长线于，
则，

由旋转得：，，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点；
解：如图，取的中点连接，，过点作于，交于，

由得：，，，，
，，点是的中点，
，，
点为中点，点为的中点，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，．
故的值为． 

【解析】过点作的延长线于，利用直角三角形性质可得：，，再运用旋转变换的性质和勾股定理即可求得答案；
过点作交的延长线于，可证得≌，得出，即可证得结论；
取的中点连接，，过点作于，交于，利用三角形中位线定理可得：，，，，，再证得四边形是矩形，可得：，，再利用等腰三角形性质可得：，最后运用勾股定理即可求得答案．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，矩形的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键．