2023届高考数学模拟试题分类汇编数列含解析

一．基本原理

1.数列求通项

类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！

类型2.等比数列：相邻两项递推：或.

或者相邻三项递推：.

注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.

类型3.累加型

类型4.()累乘型.

类型5.型（待定系数法）

一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.

类型6.型

类型7.型.

方法1.数学归纳法.

方法2.，令，则，用累加法即可解决！

类型8.型

类型9.已知与关系，求.

解题步骤：

第1步：当代入求出；

第2步：当，由写出；

第3步：（）；

第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式， 

 类型9：已知前项积求.

 类型10.特征方程法（强基层次）：型.

求解方程：，根据方程根的情况，可分为：

（1）若特征方程有两个相等的根，则

（2）若特征方程有两个不等的根，则

 2.数列求和

类型1．倒序相加法

类型2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.

类型3．裂项相消求和

1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：

.

2.有理化后求和：.

3.指对式裂相求和：，一般地，

指数型：

对数型：

类型4：错位相减法

型如的数列求和，其基本解题步骤如下：

Step1：由题可得：          

Step2：故①， ②

Step3：由①－②得：

Step4：化简：                    .

类型5. 分组求和

适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.

例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.

类型6. 并项求和

在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.

3.数列放缩

类型1.利用单调性放缩

类型2. 先求和再放缩

类型3.先放缩通项再求和

这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.

1．常见的裂项公式：

例如：或者等

2.一个重要的指数恒等式：

次方差公式

这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.

3.糖水不等式：设，则.

类型4. 基于递推结构的放缩

1.型：取倒数加配方法.

2.二次递推型：.

，然后裂项即可完成放缩，以2015浙江卷为例.

4．数列中的计数问题的基本形式如下：

记数列落在区间的个数为，讨论数列的性质.

这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能，通过不等式，由于为正整数，从而实现对自变量的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.

进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：

①．

②．

③．

5．欧拉函数及应用

1.定义：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,的值等于中与互素的数的个数.

2.计算公式：

（1）若为素数，则

（2）若为素数，且，形成了一个等比数列.

证明：即证.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数；亦即等于从减去中与不互质的数的个数.由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数.由于中被整除的数的个数是，故.

（3）已知正整数的素因数分解式其中素数

,证明：

二．试题汇编

例1.（2023届武汉9月调研）记数列的前项和为，已知

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

解析：（1）当为奇数且时，，且，也满足该式；当为偶数时，.综上，.

（2）由（1）知：.

故.

例2.（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）已知正项数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．

解析：（1）依题意，当时，，解得，

，当时，有，作差得：

，所以，因为，

所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.

（2）由（1）得，，又，同时，所以

所以

．所以的前50项和为2150．

例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）已知数列各项均为正数，且．

（1）求的通项公式

（2）设，求．

解析：（1）因为

所以，，因为数列各项均为正数，即，所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.

所以

（2）解：由（1）知，其公差为，所以，

所以，

例4（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记，为数列的前n项和，已知，．

（1）求，并证明是等差数列；

（2）求．

解析：（1）已知，

当时，，；当时，，，所以．

因为①，所以②．

②－①得，，整理得，，

所以（常数），，

所以是首项为6，公差为4的等差数列．

（2）解：由（1）知，，，．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上所述，.

例5（广州市2023届高三一模）已知等差数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

解析：（1）设等差数列的公差为，依题意，，则

所以，解得，所以.

（2），所以，

，两式相减得

，所以.

例6（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.

解析：（1）由，则，两式相减得：，

整理得：，即时，，

所以时， ，

又时，，得，也满足上式.

故.

（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.

故

.

例7.（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.

在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

（1）求的通项公式；

（2）求.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

解析：（1）若选①②，设公差为，则，

解得：，；

选①③，设公差为，，解得：，

；

选②③，设公差为，，解得：，

；

（2），

.

例8（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满足.

（1）证明:数列为“3型数列”;

（2）若,数列的通项公式为,求数列的前15项和.

解析：（1）解:由题知,所以有,且,

,

所以数列为“3型数列”;

（2）由（1）知,,所以,

,,

所以

.

例9（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）各项均为正数的数列，其前n项和记为，且满足对，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，证明：．

解析：（1）由已知：对于， ， ，

则 ∴ ，且数列各项均为正数

∴，，因为，得，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，故.

（2），，

故

，

所以.

例10（温州市2023届高三一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．

（1）求，的值；

（2）求最小自然数n的值，使得．

解析：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，

，解得，所以，

时，集合中元素个数为，

时，集合中元素个数为；

（2）由（1）知，，

时，=2001<2022，时，=4039>2022，

记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.

例11（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

解析：（1）设的公差为，的公比为，，，

联立，整理可得，解得，所以，.

（2）解：由（1）知，则，①

，②

①-②，得.

所以.

例12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．

（1）求，；

（2）令，求数列的前n项和．

解析：（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数，

则；不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数，

则．

（2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个，故分别取可得中与互质的正整数个数为，

所以，所以．设数列的前项和为．

，∴，

两式相减得：

，则．

例13．（2023·广东汕头·统考一模）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．

解析：（1）由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，

所以，即，所以，即，所以，当时，，解得，所以，结合，可知数列 是常数列，所以，所以，所以．

（2）由（1）可得，

则，

由于，

故，且，故，.

例14．（2023·山东临沂·统考一模）已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．

（1）求的通项公式及；

（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则．记数列满足，求的前20项和．

解析：（1）设的公比为是与的等差中项，

，，∴，．

（2）由题意知，，又，，即，

故．又，

．

例15．（2023·山东日照·统考一模）在数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.

解析：（1）因为，①则当时，，即，

当时，，②①②得，所以，

也满足，故对任意的，.

（2）证明：，

所以

．，，即结论成立.

例16．（2023·云南·统考一模）记数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．

解析：（1）因为，所以，

当时，，故，

且不满足上式，

故数列的通项公式为

（2）设，则，

当时，，

故，

于是．

整理可得，所以，

又，所以符合题设条件的m的最小值为7．