（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系 同步测试

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系 同步测试

一、单选题

1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（　　） 

A．50° B．80° C．100° D．130°

2．如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若∠CBD＝61°，则的度数为（　　）

A． B．119° C．122° D．

3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

4．如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC.若 ，则 的度数为（　　）. 

A．35° B．45° C．55° D．65°

5．如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6，D是 的中点，则弦AD的长为（　　）

A．4 B．8 C． D．

6．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠BAC=64°，则∠OCB的度数为（　　） 

A．64° B．36° C．32° D．26°

7．如图， 是 的直径， 是 上两点，若 ，则 的度数是（　　） 

A． B． C． D．

8．如图，AC为⊙O的弦，B为优弧ABC上任意一点，过点O作AB的平行线交⊙O于点D，交弦AC于点E，连结OA，其中∠OAB=20°，∠CDO=40°，则∠CED=（　　） 

A．50° B．60° C．70° D．80°

9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（　　） 

A．50° B．60° C．70° D．80°

10．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　） 

A．∠A＝∠D B． C．∠ACB＝90° D．∠COB＝3∠D

二、填空题

11．如图，是⊙O的直径，点，在⊙O上，，则　     　．

12．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且 的度数为50°，∠ACD= 60°，则∠E的度数是　     　

13．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是 的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若 ＝ ，则 ＝　     　．

14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中∠BOD＝100°，则∠BCD＝　     　．

15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为　     　度．

三、解答题

16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
 

17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， = ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= ，求∠ABC的度数．

18．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．若AB=12，当点P在⊙O上运动时，线段EF的长会不会改变．若会改变，请说明理由；若不会改变，请求出EF的长． 

19．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=．

（1）求AC的长度；

（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．

（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；

（2）求证：∠1=∠2．

​

22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

23．如图，圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．

（1）证明：△AOH≌△COK

（2）若AB=2，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】120°

12．【答案】95°

13．【答案】

14．【答案】130°

15．【答案】55

16．【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠C，
∴弧DC=弧AB，
∴AB=DC.

17．【答案】解：作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D．又BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE．∴BF=CE．又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∴AE=CE=3，在Rt△CDE中∵∴∠D=60°∵∠ABC+∠D=180°∴∠ABC=120°．

18．【答案】解：EF的长不会改变．EF=6． 

∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，

∴AE=EP，BF=FP，

∴EF= AB=6．

19．【答案】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：

连结AE，如图，

∵=，

∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=BC=×12=6，

在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，

∴AE==8，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴AE•BC=BD•AC，

∴BD==，

在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，

∴AD==，

∴sin∠ABD===．

20．【答案】解：（1）∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°，

∵∠B=30°，FO=，

∴OB=6，AB=2OB=12，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12，

∴AO=6，即AC=AO，

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF，

∴∠FAO=∠FAC=30°，

∴∠DOB=60°，

过点D作DG⊥AB于点G，

∵OD=6，∴DG=，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，

即阴影部分的面积是9．

21．【答案】（1）解：∵BC=DC，

∴∠CBD=∠CDB=39°，

∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；

（2）证明：∵EC=BC，

∴∠CEB=∠CBE，

而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，

∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，

∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，

∴∠1=∠2．

22．【答案】解：（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ==；

（2）连结OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP=OB=，

∴PQ长的最大值为=．

23．【答案】（1）证明：∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，

∴△OBC，△OAB都是等边三角形，

∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，

在△AOH和△COK中

∴△AOH≌△COK（ASA）

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，

∵△OBC是等边三角形，

∴BG=CG=1，CO=2，

∴OG=，

∵△AOH≌△COK，

∴S△AOH=S△COK，

∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：

S△AOB+S△OBC=2SOBC=2×​×2×=2．