初中2 二次函数的图像与性质练习题

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第10讲 函数的图象及其性质

知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（　　）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（　　）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t=是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（2019•资中县一模）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数是二次函数，
，即，
故选：．
2．（2019•镇江模拟）已知函数的图象是一条抛物线，则　3　．
【解答】解：依题意得：，
解得．
故答案是：3．
3．（2019•施甸县模拟）若函数是二次函数，则的值是　1　．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：1
4．如果是二次函数，那么需满足的条件是　　．
【解答】解：是二次函数，
，
解得：，
需满足的条件是：，
故答案为：．
5．（2019•奉贤区一模）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是　　．
【解答】解：函数为常数）是二次函数，
，解得：，
故答案为：．

知识点2二次函数图象与基本性质
1.

2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（　　）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.
【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•海州区二模）已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数在直角坐标系中的图象大致为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
，，，
一次函数，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：．
2．（2019•葫芦岛）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确；
故选：．
3．（2019春•日照期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向上，对称轴在轴的左侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，故正确．
故选：．
4．（2019•呼和浩特）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选：．
5．（2019•南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故错误；
故选：．
6．（2019•宜宾）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是　　
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
【解答】解：、如图1，可以得为等腰三角形，正确；

、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为和，正确；

、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；

、不存在实数，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：．
7．（2019•南浔区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点，点是对称轴上的一个动点，若的值最小，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点作轴于，作点关于抛物线对称轴的对称点’，

连接’， ’，过点作’交抛物线对称轴于点，此时点到’ 距离最小
抛物线
，
直线
，



当、、三点共线时最小．


．
故选：．
8．（2019•蓝田县一模）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则的值为　　
A． B．1 C．或2 D．
【解答】解：开口向下的抛物线的对称轴经过点，
，
解得，，
故选：．
9．（2019•老河口市模拟）已知点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，，
，
解得，
故选：．
二．解答题（共3小题）
10．（2019•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点．直线在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）．函数的图象记为，函数的图象记为，图象与合起来得到的图形记为．
（1）求、的值．
（2）当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围．
（3）当时，图形上最高点的纵坐标为2，求的值．
（4）当直线与图形有2个公共点时，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线与抛物线图象与均经过点
，，
解得，；
（2），
图象与的对称轴为直线，
，图象与的对称轴为直线，
当时，图形上随的增大而减小时的取值范围是或；
（3）当时， （如图
解得，（舍去）
当时， （如图
解得，（舍去）
（4）当直线与，相交时，
，
，；
当直线与，相交时，

，，
当时，，
当时，，
，，；


11．（2019•上城区一模）已知二次函数．
（1）当时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当时，随着增大而增大，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，二次函数的对称轴为．
（2）由题知二次函数与轴的交点坐标为，；
，，，且二次函数的开口方向向下；
二次函数的大致图象如图①：
所以二次函数的顶象限．
（3）当时，明显不符合题意；
；
由（2）知，二次函数的对称轴为直线，
当时，随着增大而增大，
当时，，解得；
当，，解得．
的取值范围为或．

12．（2019春•思明区校级月考）点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，．
（1）判断顶点是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点，，且，借助图象，求出的取值范围．
（3）点坐标为，点在内时，若点，，，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
【解答】解：（1），
为二次函数的顶点，
，
设，，
则，
点在直线上．
（2）如图1所示，

直线交轴于点，
，
又点在抛物线上，
，解得，
二次函数解析式为，
当时，，解得，，
，
由图象得当时，的取值范围是或．
（3）如图2所示，

直线与直线交于点，与轴交于点，
，，
可得直线的解析式为，
则有
解得
，，
点在内，
，
．
当点、关于抛物线的对称轴对称时，
，解得，
二次函数的开口方向向下，顶点在直线上，
综上：①当时，，
②当时，，
③当时，．

知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a0；负半轴上则c