2023高考数学复习专项训练《利用空间向量求点、线、面的距离》

这是一份2023高考数学复习专项训练《利用空间向量求点、线、面的距离》，共16页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《利用空间向量求点、线、面的距离》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的倍，则直线的斜率是A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角3.（5分）下列四个命题中，正确的是A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 
 A.  B.  C.  D. 5.（5分）两平行直线，之间的距离为A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为A.  B.  C.  D. 7.（5分）直线，当变化时，所有直线恒过定点A.  B.  C.  D. 8.（5分）如图，和均是边长为的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为A、B、C、D、
 A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点，，，则A. 与是共线向量
B. 的一个方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是10.（5分）已知直线，其中，下列说法正确的是A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线的倾斜角一定大于
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值12.（5分）下列说法正确的是A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为13.（5分）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为
 A.  B.  C. 面 D. 面三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）如图，长方体中，，，，，则点的坐标为 ______.
 15.（5分）已知向量，，若，则点到原点的距离的最小值为______．16.（5分）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 ______.17.（5分）若空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角______.18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线过定点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．20.（12分）如图，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点． 
证明：平面； 
在线段上找一点，使得平面，并说明理由．
 21.（12分）在中，的平分线所在直线的方程为，若点 
求点关于直线的对称点的坐标； 
求边上的高所在的直线方程； 
求的面积.22.（12分）如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值．
 23.（12分）如图，四边形为梯形，，，侧面为等边三角形，平面平面，，点在边上，且
 证明：平面当二面角的平面角的正切值为时，求四棱锥的体积.
答案和解析1.【答案】null;【解析】解：由题意可得直线的斜率为，故直线的倾斜角为， 
所以直线的倾斜角为，斜率为 
故选： 
由已知结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解． 
此题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
 2.【答案】C;【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理，， 
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理有， 
，则， 
又， 
，，，四点共面，故正确； 
对于：，，且，， 
当，时，，故错误， 
故选： 
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 3.【答案】B;【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 4.【答案】C;【解析】解：由题意可得， 
所以 
， 
故选： 
以为基底表示空间向量，然后结合数量积的运算法则计算向量的模即可求得线段的长度． 
此题主要考查空间向量及其应用，空间向量数量积的运算法则等知识，属于基础题．
 5.【答案】A;【解析】 
 本题给出两条直线互相平行，求平行线间的距离，着重考查了两条平行线的距离公式等知识，属于基础题． 
先求出两直线斜率，证明两直线平行，再利用两平行线距离公式即可求解. 
解：由题意得：直线，，，两直线为平行直线.直线两平行直线之间的距离为 

 6.【答案】B;【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 7.【答案】B;【解析】解：由直线，当变化时，令， 
解得，， 
所有直线恒过定点， 
故选： 
由直线，当变化时，令，解出即可得出． 
此题主要考查了直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 8.【答案】null;【解析】解：取中点，连接，， 
由于和均是边长为的正三角形，则，， 
又，且平面，平面， 
则平面， 
又平面， 
则，即异面直线与夹角的大小为 
故选： 
取中点，连接，，易证得平面，再由线面垂直的判定即可得解． 
此题主要考查线面垂直的判定以及异面直线所成角，属于基础题．

 9.【答案】BCD;【解析】解：空间中三点，，， 
对于，，，，与不是共线向量，故错误； 
对于，，则直线的一个方向向量是，故正确； 
对于，，则，，故正确； 
对于，由选项知，向量，不共线，令， 
则，，， 
是平面的一个法向量，故正确． 
故选： 
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果． 
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】AC;【解析】 
 此题主要考查两条直线平行，垂直时的斜率关系，考查直线的倾斜角与截距，属于基础题.利用两直线平行、垂直以及直线的倾斜角与斜率的关系和在两轴上的截距逐项分析，得到结果. 
 解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；对于项，若直线与直线平行，可知，解得或，经检验均符合题意，所以不正确；对于项，直线的斜率为，所以直线的倾斜角一定大于，所以正确；对于项，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；故选：
 11.【答案】ABC;【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 12.【答案】AD;【解析】解：由于直线，即 ， 
令，可得，故该直线必过定点，故正确； 
由于直线，即 ，故它在轴上的截距为，故错误； 
由于直线，即，故它的斜率为， 
故它的倾斜角为，故错误； 
由于直线的斜率为，故要求直线的斜率为， 
故过点且垂直于直线的直线方程为，即 ，故正确， 
故选： 
由题意根据直线的斜率和倾斜角，经过定点的直线，求直线的方程的方法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 
此题主要考查直线的斜率和倾斜角，经过定点的直线，求直线的方程，属于基础题．
 13.【答案】AC;【解析】解：如图，为正方形中心，，，面， 
又、、为分别是，，的中点，，，面面， 
面，而面，，面， 
故选： 
根据直四棱锥的性质，判断线面平行、垂直，面面平行，得到求解． 
此题主要考查了直四棱锥的性质，线面平行、垂直的判断，是基础题．

 14.【答案】（，1，）;【解析】解：由已知可得，， 
则， 
因为，则， 
设，则， 
所以， 
所以，可得， 
所以点的坐标为 
故答案为： 
求出点，的坐标，从而可得，由，可得，设，利用相等向量可求得，，的值，从而可求得点的坐标． 
此题主要考查空间中的点的坐标，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】;【解析】解：， 
， 
即， 
即， 
则点到原点的距离的最小值为当垂直直线时取得最小值， 
此时最小值为， 
故答案为：． 
根据向量垂直于向量数量积的关系建立方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可． 
此题主要考查向量数量积的应用以及点到直线的距离公式的计算，根据向量垂直转化向量数量积是解决本题的关键．
 16.【答案】20cm;【解析】解：如简图所示，两平面相交于，，，， 
，， 
则为二面角的平面角，且，， 
即点到二面角的棱的距离为 
故答案为： 
画出简图，结合三角函数关系即可求解． 
此题主要考查二面角的平面角的求法，属于中档题．

 17.【答案】;【解析】解：空间向量，平面的一个法向量为， 
直线与平面所成角， 
则， 
 
故答案为： 
由，能求出结果． 
此题主要考查线面角的正弦值公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 18.【答案】;【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：（1）直线l与直线x+2y-5=0垂直，设直线l的方程为2x-y+c=0， 
将定点A（2，1）代入可得4-1+c=0，解得c=-3， 
故直线l的方程为2x-y-3=0． 
（2）①当直线l经过原点时，直线l的方程为y=，即x-2y=0； 
②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x-y=a, 
把点（2，1）代入可得2-1=a,解得a=1，则直线l的方程为x-y-1=0， 
综上，直线l的方程为x-2y=0或x-y-1=0．;【解析】 
根据两直线垂直，设直线的方程，代入点的坐标，求出参数的值即可； 
分直线经过原点和直线不经过原点两种情况讨论，当直线不经过原点，设直线的方程为，代入点的坐标，求出参数的值即可． 
此题主要考查了直线垂直的性质和直线的截距式方程，考查了分类讨论思想和方程思想，是基础题．
 20.【答案】证明：（1）∵E、F分别是BC，BP中点， 
∴EF∥PC， 
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC， 
∴EF∥平面PAC； 
解：（2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点， 
 
∵E、G分别是BC、AD中点， 
∴AE∥CG， 
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG， 
∴AE∥平面PCG， 
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG， 
∴EF∥平面PCG，AE∩EF=E，AE，EF⊂平面AEF， 
∴平面AEF∥平面PCG，FH⊂平面AEF， 
∴FH∥平面PCG．;【解析】 
利用线面平行的判定定理即证； 
与的交点即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面平面，进而即得． 
此题主要考查了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理，属于中档题．
 21.【答案】解：中，设点关于的对称点，则， 
 
点在直线上，直线的方程为， 
因为在直线上，所以，所以 
，所以边上的高所在的直线的斜率为， 
再结合，可得边上的高所在的直线的方程为，即 
由于的斜率为，的斜率为，故 
再根据，， 
;【解析】此题主要考查三角形内角平分线的性质，求一个点关于直线的对称点的方法，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 
设点关于的对称点，利用垂直以及中点在轴上求得、的值，可得点的坐标．由条件求得的坐标，可得的斜率，从而求得边上的高所在的斜率，进而求得边上的高所在的方程．由、的斜率互为负倒数，可得故，求得、的值，从而求得的面积． 

 22.【答案】解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 
则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）， 
． 
设平面B1BD的法向量为，∴， 
∴，∴， 
令y=1，则， 
∴， 
故BE与平面B1BD所成角的正弦值为．;
 【解析】 
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 
此题主要考查线面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于基础题．
 23.【答案】证明：连结交于，再连结， 
由知，又，所以， 
所以，又平面，平面， 
所以平面； 
 
作于，平面平面， 
平面平面，平面，平面， 
以为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 设， 
，，， 
， 
设平面的一个法向量，平面的一个法向量 
则，令，得， 
，令，得， 
设二面角的平面角的平面角为，则，， 
，解得， 
;【解析】此题主要考查空间线面平行的判定以及空间几何体体积的求法，考查利用向量求二面角的方法. 
连结交于，证明，由线面平行的判定定理即可证得平面 
作于，设，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，由解得，即可求得体积.