高中数学3.1.3 函数的奇偶性随堂练习题

【优编】3.1.3函数的奇偶性课堂练习

一、单选题

1．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（    ）

A．－3 B．－2 C．2 D．3

8．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

9．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

10．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

11．若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于(    )

A． B． C． D．

12．设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）

A．的最大值为-a B．的最小值为-a

C． D．

13．已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

14．已知定义在R上的函数，满足不等式，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法不正确的是（    ）

A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数

参考答案与试题解析

1．C

【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围

【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以

将代入得：

联立 解得：

 ，等价于，

即：，令，则在单增

①当时，函数的对称轴为，所以在单增

②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：

③当时，单增，满足题意

综上可得：

故选：C

【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：

①函数奇偶性的应用

②通过方程组法求解函数的解析式

③构造新函数

④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围

需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决

2．B

【分析】通过是奇函数和是偶函数可以确定函数的解析式与周期，进而求出结果.

【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，

因为是偶函数，所以②，且关于对称，

所以的周期为，

令，由①得，由②得

又，所以，，

令，由①得，

所以，，

所以.

故选：B

3．B

【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.

【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，

所以当或时，，当时，．

所以等价于或 ，

解得或，所以不等式的解集为，

故选：B．

4．D

【分析】根据条件可得在上单调递增，然后结合其是偶函数可得答案.

【详解】当时，，则在上单调递增，

又函数是上的偶函数，且，

所以，不等式，

解得或

所以不等式的解集为，

故选：D

5．B

【分析】当时可得，整体代入已知解析式结合函数的奇偶性可得．

【详解】解：当时可得，

当时，，

，

又函数为定义在上的偶函数，

当时，

故选：B．

6．A

【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.

【详解】根据题意可知，

可转化为，

所以在[0，+∞)上是增函数，又，

所以为奇函数，所以在R上为增函数，

因为，，

所以，

所以，

解得，

即x的取值范围是.

故选：A.

【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.

7．D

【分析】根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，进而即得.

【详解】因为为偶函数，则关于对称，即.

即，即，也满足.

又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，

∴，，

∴周期为4，

∴，

∴.

故选：D.

8．D

【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．

【详解】因为对任意的，有，

所以当时，，

所以在上是减函数，

又是偶函数，所以，，

因为，所以，

即．

故选：D．

9．A

【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.

【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；

又时，，排除选项C，故选项A正确.

故选：A.

10．B

【分析】由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解.

【详解】解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，

所以，所以函数的图象关于对称，

又，所以，即，

因为，所以函数是周期为4的函数，

所以，，，

因为，且，所以，

所以函数为奇函数，

又因为对任意的，，，都有成立，即，

所以函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

因为，所以，

故选：B.

11．D

【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.

【详解】∵函数是偶函数，

∴，

又∵，

，

，

，

∴函数的周期为4，

∴.

故选：D.

12．D

【分析】根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.

【详解】依题意，，

因，则是奇函数，于是得，即，

因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；

，，，

即，，因此，C不正确，D正确.

故选：D

13．B

【分析】根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在时的最小值即可.

【详解】因为，所以是周期为2的周期函数，

因为，所以，所以为奇函数，

所以只需考虑区间内的最小值即可.

当时，，所以，且，

而由于为奇函数，所以在时，，

又因为为奇函数，所以，，

因为的周期为2，所以，

所以，

所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值.

故选：B．

14．D

【分析】构造，根据函数的奇偶性与单调性，可求出的范围，从而得出的取值范围.

【详解】令，则，

设，，

所以是奇函数，，

，

，

等价于，

即，即，

又在R上单调递增，

所以，解得：，即，

解得：.

故选：D

15．C

【分析】根据函数的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.

【详解】解：函数的图象关于直线对称，

函数的图象关于直线对称，

对有，函数的图象关于中心对称，

，即，

又，即，，

，即，，

的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；

当时，，，

当时，，，即，当时，，

又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，

在上的最大值为4，选项B正确；

，选项C错误.

故选：C.