用几何法求解二面角的平面角 ——广东省普宁市华侨中学2022年暑假高二数学讲义

【重难点突破】2022年暑假高二高效提升讲义（新人教A版2019）

用几何法求解二面角的平面角        

  【考点梳理】

三垂线型

三垂线模型是根据三垂线定理或其逆定理，在已知（或已证）直线垂直于平面的前提下，通过作棱的垂线得到二面角的平面角，是一种非常重要且常见的方法，其建构方法可总结为"两垂一连"。

如图：三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，如下图，这是"一垂"，即已知（或已证）的线面垂直；过点A作 AHBC，垂直为H，这是"二垂"，即过垂足作棱的垂线；联结 PH，这是"一连"，则PHA为二面角P-BC-A的平面角。

具体细分为两种类型：（1）题目出现直线垂直半平面（2）题目出现的面的垂线落在半平面内

【典例剖析】

典例1．如图，在三棱锥中，.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的平面角的正弦值．

典例2．已知矩形，E，F分别是线段中点，底面．

(1)若棱上一点G满足，求证：面；

(2)若，求二面角的正切值．

典例3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积；

(3)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

典例4．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且.求证：

(1)平面平面PBC；

(2)当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.

【双基达标】

5．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面平面，平面平面.

(1)求证：;

(2)求二面的余弦值.

6．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且的中点为.

(1)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，指出点在上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；

(2)若，求二面角的余弦值.

7．如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点．

(1)求证：平面SMC⊥平面SBC；

(2)若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小，

8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小．

9．已知四棱锥的底面为矩形，，，平面，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)若与平面所成的角为45°，求二面角的正切值.

10．已知在四棱锥中，平面，，∥，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，求二面角的余弦值．

11．在四棱锥中，，，，，平面，，分别为，的中点.

(1)求证：平面面；

(2)若，求二面角的大小.

12．已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点．

(1)证明：平面；

(2)若是边长为2正三角形，求二面角的正弦值．

13．如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.

(1)求证：平面；

(2)求四面体的体积；

(3)求平面与平面的夹角的正切值.

参考答案

1．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.

（2）过点分别作的垂线，即找到二面角的平面角，即可求出答案.

（1）∵，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．

（2）取的中点，连接，则，

由（1）知平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面.所以.作，垂足为点，连接，因为,平面.所以平面.又平面则，则为二面角的平面角．设，则．由题意得，中，，∴二面角的平面角的正弦值为.

2．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作为的中点，在上取点，使点满足，连接、、、，依题意可得且，即可得到四边形为平行四边形，从而，即可得证；

（2）依题意可得，再由底面，即可得到，从而得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.

（1）证明：作为的中点，在上取点，使点满足，连接、、、；是的中点，在梯形中，，，，，，，在中，，，且，四边形为平行四边形，，面，面，面．

（2）解：因为，，所以，又为的中点，所以，又为矩形，所以、为等腰直角三角形，所以，，所以，即，又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，即二面角的正切值为.

3．(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直的性质即得；

（2）利用锥体的体积公式即得；

（3）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得是平面和平面的夹角，结合条件即得.

（1）因为平面，平面，所以；

（2）因为平面，．四边形是矩形，所以，是三棱锥的高，∴；

（3）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面和平面的夹角，由于，，所以，所以，所以平面与平面的夹角余弦值为.

4．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线面垂直的性质定理，可得，根据圆的性质，可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证.

（2）由（1）可得，，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，根据三角函数的定义，可得的表达式，根据的范围，计算求解，即可得答案.

（1）因为PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，所以，，因为AB是的直径，所以，因为平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PBC

（2）因为平面PAC，平面PAC，所以，又，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，则，又，所以，因为，所以，所以，因为所以，所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为

5．(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作，垂足为，由平面平面，可得平面，进一步可证得平面，从而可证得，

（2）由∥平面，平面平面，可得∥，结合（1）可得平面，则为二面的平面角，然后在中利用余弦定理可求得结果

（1）证明：作，垂足为，因为，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面，因为平面，所以

（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面，所以∥，由（1）可知平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面的平面角，在中，,由余弦定理可得，所以二面的余弦值为.

6．(1)在线段上存在中点，使得平面，证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取中点，可证平面；

（2）过作于点，过作于点，证明为二面角的平面角，在直角三角形中解之可得．

（1）在线段上存在且为中点，使得平面.证明如下：如图所示，设的中点为，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，则又平面平面平面.

（2）过作于点，过作于点，连接.连接平面，平面，所以，，为的中点，所以为中点，，所以平面而平面.又，平面，所以平面平面，为二面角的平面角.，.

7．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理求解即可；

（2）取的中点，连接，由题意可得，取的中点，连接，可证明是二面角的平面角，求出角的大小即可求解

（1）因为，又M为AD的中点，所以，又，所以，又M为AD的中点，底面为菱形，，所以，所以，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，

（2）取的中点，连接，又，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又与平面所成的角为，所以，又，所以，由（1）知平面，又平面，所以，又，所以，取的中点，连接，因为，所以，所以是二面角的平面角，又，所以，又，所以，即，所以二面角的大小为，

8．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，再由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而得证；

（2）取的中点，连接，，可证平面，则为直线与平面所成的角，即可求出，取的中点，连接，，即可得到为侧面与侧面所成的角，从而得解．

（1）证明：在中，，为的中点，所以，因为平面平面．平面平面，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．

（2）解：取的中点，连接，．在中，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．所以为直线与平面所成的角．在中，，所以，在中，，所以，因为，平面，平面，所以平面．设平面平面，平面，．所以．取的中点，连接，．在中，，所以，所以．所以为侧面与侧面所成的角，在中，，所以．所以侧面与侧面所成的角为．

9．(1)详见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直的判断定理，证明，即可证明线面垂直；

（2）首先判断，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可计算正切值.

（1）由条件可知，，满足，所以，又因为平面，平面，所以，且，所以平面；

（2）因为是与平面所成的角，所以，，因为，，，所以平面，取的中点，，垂足为点，连结，因为，所以平面，所以，，所以平面，所以，即是二面角的平面角，,，，所以，所以二面角的正切值为.

10．(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接，则由三角形的中位线定理可得∥，，再结合已知条件可得四边形为平行四边形，从而得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，

（2）取的中点，的中点，连接，可得∥，∥，，则结合已知可得平面，从而可得为二面角的平面角，然后在中求解即可

(1)

证明：取的中点，连接，

因为为的中点，

所以∥，，

因为∥，，

所以∥，，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，

(2)

解：取的中点，的中点，连接，

则∥，，

因为，所以，

因为为的中点，

所以∥，，

因为平面，

所以平面，

因为平面，

所以，，

因为，所以平面，

因为平面，

所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，

所以，

所以二面角的余弦值为

11．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由题设可得，正弦定理可得，即，再由线面垂直的性质有，根据线面垂直的判定可得面，中位线性质有，则面，最后由面面垂直的判定证结论.

（2）根据线面垂直的性质及二面角的定义找到锐二面角的平面角，根据其与所求二面角的关系，即可求角的大小.

(1)

由题设，在中，，，

所以，

在中，，则，可得，

又，故，

所以，

由平面，平面，则，

又，面，故面，

由，分别为，的中点，故，则面，

面，所以平面面；

(2)

若为中点，为的中点，则，

由平面，则面，

若为中点，则，由（1）知：，

所以，

又面，故，

，面，故面，

而面，则，

综上，，，故为锐二面角的平面角，

由知：，由（1），则，

，故，

由图知：钝二面角为.

12．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；

（2）根据等腰三角形的三线合一定理及直棱柱的定义，再利用线面垂直的性质定理及二面角的平面角的定义，结合锐角三角形即可求解.

(1)

连接，，则交于点P，

因为分别为，的中点，

所以在中,，

因为平面，平面，

所以平面；

(2)

取中点，连接MC，，如图所示

因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以，

在直三棱柱中

平面ABC，平面，所以，

而，平面

所以平面，平面，所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，

因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以，

在中，,

所以.

所以二面角的正弦值为．

13．(1)证明见解析

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）根据三棱锥的体积公式即可求得答案.

（3）作辅助线，根据面面角的定义找到平面与平面的二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.

(1)

证明： 由题意， 可得，，平面，

平面平面，

所以平面，

又平面，则，

在正方形中，，

又，则平面.

(2)

因为平面，平面平面，

平面，

又，

故，.

(3)

记交于，连接，过作，交于，连接，

由题意知， ,O为BD中点，故，

∵ 平面，∴，则，则 平面,

则为平面与平面的夹角.

∵，∴平面，则,四边形AOGF为平行四边形，

故 ,由于 ,故平面BDE，

故平面BDE，平面BDE，故，

中,，

，，

则在中，，

故平面与平面的夹角的正切值为.