2021-2022学年福建省南靖县第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省南靖县第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．等差数列的前项和为，且，则（       ）

A．88 B．48 C．96 D．176

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质求得，再由求解.

【详解】由等差数列的性质得，，解得，

所以，

故选：A.

2．直线被圆截得的弦长为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据垂径定理，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，弦长的一半，构成直角三角形，由勾股定理得到结果.

【详解】，，圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，直线被圆截得的弦长等于.

故答案为B.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的应用，注意利用点到直线的距离公式计算．

3．设等比数列的公比，前项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

【详解】设数列的首项为.

∵数列为等比数列，且公比

∴，，且

∴

故选：B.

4．两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间的距离为

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据两平行直线的系数之间的关系求出,把两直线的方程中的系数化为相同的,然后利用两平行直线间的距离公式,求得结果.

【详解】直线l1与l2平行,所以,解得,

所以直线l2的方程为:,

直线:即,与直线:的距离为:

.

故选:C

【点睛】本题考查直线平行的充要条件,两平行直线间的距离公式,注意系数必须统一,属于基础题.

5．在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)

A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0

C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0

【答案】C

【详解】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有，，两式相减,又x1＋x2＝y1＋y2＝2，

因此，即，所求直线的斜率是，

弦所在的直线方程是y－1＝ (x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.

6．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解；

【详解】解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

7．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解

【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．

由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．

故选：A

8．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.

【详解】由题意可知，则对任意的，，则，，

由，得，，，

，因此，.

故选：B.

【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、多选题

9．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（       ）

A．当点不在轴上时，的周长是6

B．当点不在轴上时，面积的最大值为

C．存在点，使

D．的取值范围是

【答案】ABD

【解析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.

【详解】由椭圆方程可知，，从而．

对于选项A:根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；

对于选项B：设点，因为，则．

因为，则面积的最大值为，故选项B正确；

对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．

此时，，又，则为正三角形，，

所以不存在点，使，故选项C错误；

由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；

对于选项D：当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．

故选：ABD

【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论

以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则

（1）焦点三角形的周长为；

（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；

（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；

（4）.

10．下列说法正确的是（       ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．过点且垂直于直线的直线方程为

C．过两圆及的交点的直线的方程是

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为，

若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为，

所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；

对于B选项，直线的斜率为，

所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对；

对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

，，故两圆相交，

将两圆方程作差得，

所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对；

对于D选项，由可得，得，

所以曲线表示圆的上半圆，

直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：

当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，

则，解得；

当直线过点时，则，解得.

由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错.

故选：BC.

11．下列命题正确的有（     ）

A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列

B．若为等比数列，且，则

C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大

D．若 ，则数列的前2020项和为4040

【答案】BCD

【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.

【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；

B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；

C. 因为，则，，则，所以，，

所以数列前项的和最大，故正确；

D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.

故选：BCD

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（1，0），直线，动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（       ）

A．点P的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”.

C．平面上有一点A（1，1），则的最小值为3.

D．点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

【答案】BCD

【分析】由定义化简即可求解点方程；直线上存在最远距离点即联立直线和椭圆方程后有解；将转化为即可求解；画出椭圆和圆的轨迹可直接辨别无交点.

【详解】设点为，点到的距离为，

因为动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半，

则，化简得，故A错误；

联立直线和椭圆方程，可得：，

故存在，直线是“最远距离直线”，B正确；

由可知，,

当点与点A纵坐标相等时，最小距离为：，C正确；

圆C：化简得：，显然圆C在椭圆内，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m=_________.

【答案】-0.25

【详解】试题分析：首先我们应该知道方程表示双曲线的条件是，因此本题中有，从而双曲线中，，条件虚轴长是实轴长的2倍即为，因此可得．

【解析】双曲线的标准方程及双曲线的性质．

14．数列的前n项和，则_____________．

【答案】

【详解】试题分析：当时,,当时,, 当时上式也满足,故.

【解析】已知求．

15．点在双曲线上运动，为坐标原点，线段中点的轨迹方程是__

【答案】

【分析】先设，，根据题意得，代入双曲线方程即可求解.

【详解】设，，则由中点坐标公式得，，即，代入即得所求轨迹方程：．

故答案为：.

16．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．

【答案】

【分析】通过截距式设出直线方程，并求出两点到直线的距离之和，进而建立不等式，最后求出答案.

【详解】设直线l的方程为，即．

由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，

点到直线l的距离．

所以．

由，得，即．

因为，所以，所以，

即，所以，所以，

即e的取值范围为．

故答案为：.

四、解答题

17．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.

（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．

【答案】【小问1】

【小问2】

【分析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为，点代入求得的值即可得出答案.（2）设双曲线的标准方程为，利用焦距和渐近线方程列方程组即可求解.

【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.

又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，

解得λ=11或(舍去).

故所求椭圆的标准方程为.

（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，

∴，解得，

∴该双曲线的方程为．

18．已知在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，可得

解得，

所以等差数列的通项公式可得;

（2） 由（1）可得，

所以.

【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.

19．已知圆C经过点和，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)设直线l经过点，且l与圆C相切，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)和．

【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；

（2）分类讨论，斜率不存在的直线说明它是圆切线，斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数后得直线方程．

【详解】(1)由题意，设圆心坐标为，则，解得，

所以圆心为，半径为，

圆方程为；

(2)过且斜率不存在的直线为，它与圆相切，

斜率存在的切线设其方程为，则，解得，

直线方程为，

综上切线方程为和．

20．己知数列中，，且满足.

(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和为.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）求得，根据等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得.

【详解】(1)解：对任意的，，所以，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

所以，所以．

(2)解：由已知可得，则，

所以，，

两式相减得

，

因此，.

21．如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）令，，应用两点距离公式、斜率的两点式列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程；

（2）设，，直线为，联立椭圆方程，由韦达定理可得，进而得到，根据三角形面积公式即可证与的面积相等.

【详解】(1)因为､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，

所以，，得，又，可得，，

∴椭圆的方程为.

(2)直线为，即，将其代入，

消去，整理得.

设，，则.

记的面积是，的面积是.

由题意，，，

∵，

∴，

∵，.

∴的面积等于的面积.

22．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．

(1)求椭圆的方程

(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得、，再根据，即可求出、，从而求出椭圆方程、离心率；

（2）设直线为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得，即可得到方程，整理得到，即可得到、的关系，从而求出直线过定点；

【详解】(1)解：依题意、，又，解得，，

所以椭圆方程为，离心率；

(2)解：由（1）可知，

当直线斜率存在时，设直线为，联立方程得，消去整理得，

设，，所以，；

因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以；

即

所以，

即，

所以，即，所以或，

当时，直线：，恒过定点，因为直线不过A点，所以舍去；

当时，直线：，恒过定点；

当直线斜率不存在时，设直线，，，

则，且，

解得或（舍去）；

综上可得直线恒过定点.