2023届吉林省辽源市第五中学校高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届吉林省辽源市第五中学校高三上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省辽源市第五中学校高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】因为，所以.故选：D2．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设出，得到，，从而列出方程，求出，，得到答案.【详解】设复数，则，因为，所以，解得，因为，，所以，解得，故.故选：B3．在中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量减法结合数量积的运算律运算求解.【详解】∵，∴.故选：B.4．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（    ）A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗【答案】B【分析】根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再结合圆柱的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：如图所示，因为，，，所以.因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，则由圆台公式可得：；因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，即则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.故选：B.5．从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，列举出满足正三角形的顶点的组合，然后再利用古典概型概率计算公式计算出所求概率即可.【详解】如图示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有种，在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形的有8种，顶点的集合分别是，，，，，，，，所以所求概率为.故选：B6．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数图象的变换求得，再求结果即可.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象；再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象；故.故选：C.7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数与函数的单调性证得在上单调递增，从而证得，进而由对数函数的单调性得到.【详解】因为，，，故令，则，因为，所以，故恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，故，又因为在上单调递增，所以，即.故选：B.8．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（    ）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】取AB的中点Q，证明平面平面得动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．然后计算△MQC的面积即可．【详解】取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为，，AB的中点可得，平面，平面，所以平面，同理得平面，，平面，则平面平面，所以动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．在正三棱柱中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则，平面平面，平面平面，则CQ⊥平面，平面，所以．因为，所以，因为侧棱长是6，所以．所以，则△MQC的面积，故动点P的轨迹面积为．故选：C【点睛】结论点睛：本题考查空间点的轨迹问题，空间点的轨迹几种常见情形：（1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹；（2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹；（3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹；（4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹； 二、多选题9．己知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】CD【分析】对于A、B：线面的位置关系直接判断；对于C：利用线面垂直的判定定理证明出；对于D：由面面平行的性质证明出.【详解】对于A：若，则或.故A错误；对于B：若，则或异面.故B错误；对于C：因为，所以内任意直线.在平面内取两条相交直线，则且.因为，所以，.又为平面内两条相交直线，所以.故C正确；对于D：由选项C的证明可知：.因为，所以.故D正确.故选：CD10．已知函数，则（    ）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AD【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C错误；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D正确.故选：AD.11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）A．平分B．C．延长交直线于点，则三点共线D．【答案】ACD【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；对于B，直接代入即可得到；对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；对于D，由选项A可知.【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于A，，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故A正确；对于B，因为，故，故B错误；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，由选项A知，故D正确.故选：ACD..12．已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据与奇偶性之间的关系，结合函数对称性和周期性，即可判断和求解.【详解】因为为奇函数，，则，因为，则，故可得，故关于对称，；又为奇函数，所以为偶函数，所以周期为8，所以，正确；又，对等式两边求导，所以关于对称，所以周期为8，所以，正确.又选项均无法求出确定值，故选：.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的计算，原函数与导函数奇偶性之间的关系，以及函数性质的求解，处理问题的关键是对函数性质的灵活掌握，属综合中档题. 三、填空题13．的展开式的中间一项的系数是___________.（用数字作答）.【答案】【分析】利用二项展开式通项可求得所求项的系数.【详解】由二项式展开式可知，的展开式的中间一项的系数为.故答案为：.14．若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.【答案】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，结合圆的特点得到过点的弦经过圆心时，弦长最长，然后利用圆心坐标、点坐标求直线方程即可.【详解】圆可整理为，所以圆心，，当过点的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点的最长的弦所在的直线方程为，整理得.故答案为：.15．已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．【答案】1【分析】由导数的几何意义求解，【详解】令，，则，，，则点处的切线方程为令，，由题意得，解得，故答案为：116．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.【答案】##【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案.【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，根据椭圆的定义，且，则，所以，又由离心率的公式得，由，则，所以，即椭圆的离心率的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键. 四、解答题17．已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，，成等差数列以及可求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解；（2）先求出，再根据裂项相消法求和即可．【详解】（1）∵，，成等差数列，∴，∴，设数列的公差为，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴数列的前n项和为．18．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．(1)求角B；(2)若，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；若选条件③，先用三角形的内角之和为结合诱导公式得到，再利用正弦定理和两角差的余弦公式化简，即可求解；（2）由向量的加法可得：，平方后结合已知条件得到（），再由二次函数的图像与性质，即可求解.【详解】（1）选择条件①：由正弦定理，可得：可得：，又由余弦定理，可得：因为，所以.选择条件②：由，得：，由正弦定理可得，所以，，，，所以，则.选择条件③：因为，可得：，由正弦定理可得：可得：，整理可得：，因为，所以.（2）因为，所以，因为是的中点，所以，即，则，所以，故线段BD的取值范围为.19．如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用勾股定理、平行关系和线面垂直性质可得，，由线面垂直的判定可证得结论；（2）根据线面垂直性质可得，根据角度和长度关系可证得为中点，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1），，，，又，；平面，平面，；，平面，平面.（2）平面，平面，，，，，即，，为中点，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，；即二面角的正弦值为.20．年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图． 不受影响受影响合计A区   B区   合计    (1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：  【答案】(1)0.86；(2)2×2列联表见解析，没有95%的把握. 【分析】（1）根据茎叶图中数据及中位数的概念直接计算得解；（2）由茎叶图判定不受影响、受影响的企业数，据此列出2×2列联表，计算得出结论.【详解】（1）A区供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为，所以所求中位数为；（2）2×2列联表： 不受影响受影响合计区7310区4610合计11920 没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.21．已知过定点的直线交曲线于A，B两点．(1)若直线的倾斜角为，求；(2)若线段的中点为，求点的轨迹方程．【答案】(1)(2)，其中 【分析】对于（1），得l方程为：，与双曲线联立后可求出A，B坐标，即可求得.对于（2），先利用点差法可求得轨迹方程.后利用韦达定理可求得曲线上点坐标的范围.【详解】（1）由题得l方程为：，将其与联立有，消去y得：，解得或.则令A，B，则=.（2）由题，直线存在，故设l方程为：.将其与联立有：，消去y得：因l与双曲线有两个交点，则，得且.设.又设M坐标为，则.因A，B在双曲线上，则有.又M，在直线l上，则.故由韦达定理有，，.则M坐标为.又，且，则或.综上点的轨迹方程为：，其中.【点睛】易错点点睛：本题涉及求双曲线的弦长，及双曲线中的轨迹方程.需注意以下两点:（1）将直线与双曲线联立时，若直线与双曲线有两个交点，联立方程的二次项系数不能为0.（2）求轨迹方程时，要注意根据题意求出曲线上点坐标的范围.22．已知函数.(1)当时，求函数的极小值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）对求导，利用导数与函数的单调性易得的极小值；（2）法一：将问题转化为在区间上的最小值小于等于，再分类讨论、、与四种情况下在区间上的最小值，从而得解；法二：在法一的启发下，分类讨论与两种情况，在时取点满足有解；在时求得在区间上的最小值，从而得解.（3）分类讨论与两种情况，研究是否存在即可.【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，当时，，则，令，解得或，所以当变化时，，的变化情况如下表：00极大值极小值 当时，函数取得极小值.（2）法一：因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，因为，令，得，，当时，即时，因为对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为，所以，解得，所以此种情形不成立；当，即时，若，则对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为，所以，解得，所以；若，若，则对成立，对成立.则在上单调递减，在上单调递增，此时在上的最小值为，所以有显然成立，可得；当时，注意到，而，此时结论成立；综上，的取值范围是.法二：因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，当时，显然，而成立；当时，对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为，所以有，解得，所以；综上，.（3）因为，所以当时，，故不存在，不满足题意；当时，的两个根为，此时，当，即时，令，得或；令，得；由于当时，，结合二次函数的性质可得，当时，，故存在，使得；当，即时，令，得或；令，得，由于当时，，结合二次函数的性质可得，当时，，故存在，使得；综上：，故的取值范围是.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．