山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

运城市2021～2022学年高一1月份期末调研测试数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列各角中，与角1560°终边相同的角是（    ）

A. 180° B. -240° C. -120° D. 60°

【答案】B

【解析】

【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.

【详解】与1560°终边相同的角为，，

当时，.

故选：B.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交集和补集运算法则计算即可.

【详解】或，∴.

故选：C.

3. 设，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.

【详解】由得，

由得，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4. 如果，且，那么下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.

【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；

对于B，若，则，错误；

对于C，若，，满足，但不成立，错误；

对于D，由指数函数的单调性知，正确.

故选：D.

5. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.

【详解】A中的最小正周期为，不满足；

B中是偶函数，不满足；

C中的最小正周期为，不满足；

D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.

故选：D.

6. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1200倍.

（参考数据：，，，）

A. 122 B. 124 C. 130 D. 136

【答案】A

【解析】

【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解

【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为6%；

设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则

，∴，

∴，

∵，∴大约经过122天能达到最初的1200倍.

故选：A.

7. 函数的最大值是（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.

【详解】

，

∵，∴函数的最大值是.

故选：C.

8. 函数，其部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用图象求出函数的解析式，即可求得的值.

【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则，

所以，，由图可得，

因为函数在附近单调递增，

故，则，

，故，所以，，

因此，.

故选：C.

9. 已知二次函数值域为，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 12 C. 10 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的值域求出a和c的关系，再利用基本不等式即可求的最小值.

【详解】由题意知，，

∴且，

∴，

当且仅当，即，时取等号.

故选：D.

10. 已知函数则函数的零点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】的零点个数等于的图象与的图象的交点个数，作出函数f(x)和的图像，根据图像即可得到答案.

【详解】的零点个数等于的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图象与的图象的交点个数为2.

故选：C.

11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出g(x)解析式，作出g(x)图像，根据图像即可求解﹒

【详解】由题得，，，

∵，∴＝1且＝－1或且＝1，

作的图象，

∴的最小值为＝，

故选：D．

12. 已知函数且，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围.

【详解】函数，定义域为，

满足，

∴，令，∴，∴为奇函数，

，

∵函数，在均为增函数，

∴在为增函数，

∴在为增函数，

∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“，”的否定是_________.

【答案】，##

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定即可得出结果.

【详解】由题意知，

命题“”的否定为：

.

故答案为：.

14. 不等式的解集为，则的取值范围是_________.

【答案】[0,1)##0≤k＜1

【解析】

【分析】分k＝0和k≠0两种情况进行讨论.k≠0时，可看为函数恒成立，结合二次函数的图像性质即可求解.

【详解】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意；

②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得；

综上可得，实数的取值范围是.

故答案：.

15. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】由题意，可令，将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据函数的定义域和值域确定实数需要满足的关系，列式即可求解.

【详解】设，则，

∵，∴必须取到，∴，

又时，，，

∴，∴.

故答案为：

16. 已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为_________.

【答案】##a≤

【解析】

【分析】时，，原问题.

【详解】∵，，∴，

∴，

即对任意的，都存在，使恒成立，

∴有.

当时，显然不等式恒成立；

当时，，解得；

当时，，此时不成立.

综上，.

故答案为：.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.

（1）求；

（2）求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据任意角三角函数的定义即可求解tanθ；

(2)分式分子分母同时除以cos2θ化弦为切即可.

【小问1详解】

∵角的终边经过点，由三角函数的定义知，；

【小问2详解】

∵，∴.

18. 已知幂函数的图象经过点.

（1）求的解析式；

（2）用定义证明：函数在区间上单调递增.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】(1)设幂函数，由得α的值即可；

(2)任取且，化简并判断的正负即可得g(x)的单调性.

小问1详解】

设，则，解得，∴；

【小问2详解】

由(1)可知，任取且，

则

，

∵，则，，

故，因此函数在上为增函数.

19. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）；   

（2），.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)，即可求正弦型函数最小正周期；

(2)根据正弦函数的单调递增区间即可求复合函数f(x)的单调递增区间.

【小问1详解】

，

∴，即函数的最小正周期为.

【小问2详解】

令，，

解得，，

即函数的单调递增区间为，.

20. 王先生发现他的几位朋友从事电子产品的配件批发，生意相当火爆.因此，王先生将自己的工厂转型生产小型电子产品的配件.经过市场调研，生产小型电子产品的配件.需投入固定成本为2万元，每生产万件，还需另投入万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不低于8万件时，（万元）.每件产品售价为4元.通过市场分析，王先生生产的电子产品的配件都能在当年全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）求年产量为多少万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大?并求出年利润的最大值?

【答案】（1）；   

（2）当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大，年利润的最大值为6万元.

【解析】

【分析】(1)根据题意列出和时的解析式即可；

(2)分别求和时的最大利润，比较两个利润的大小即可.

【小问1详解】

∵每件商品售价为4元，则万件商品销售收入为万元，

当时，；

当时，.

∴；

【小问2详解】

若，则.

当时，取得最大值万元.

若，则，

当且仅当，即时，取得最大值6万元.

∵，

∴当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大.年利润的最大值为6万元.

21. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若对任意恒有，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据对数的真数为正即可求解；

(2)对任意恒有对恒成立，参变分离即可求解a的范围.

【小问1详解】

由得，，等价于，

∵方程的，

当，即时，恒成立，解得，

当，即时，原不等式即为，解得且；

当，即，又，即时，

方程的两根、，

∴解得或，

综上可得当时，定义域为，

当时，定义域为且，

当时，定义域为或；

【小问2详解】

对任意恒有，即对恒成立，

∴，而，在上是减函数，

∴，

所以实数的取值范围为.

22. 已知函数.

（1）求函数的最大值及相应的取值；

（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）2，   

（2）或   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数性质可求得答案；

（2）将问题转化为函数与函数在上只有一个交点.由函数的单调性和最值可求得实数的取值范围；

（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其对称轴，分，，讨论函数的最小值，建立不等式，求解即可.

【小问1详解】

解：由得.

令，解得，

∴函数的最大值为2，此时；

【小问2详解】

解：方程在上有且有一个解，即函数与函数在上只有一个交点.

∵，∴.

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

且，，.

∴或；

【小问3详解】

解：由（1）可知，∴.

实数满足对任意，都存在，使得成立，即成立，

令，其对称轴，∵，

∴①当时，即，，∴；

②当，即时，，∴；

③当，即时，，∴.

综上可得，存在满足题意的实数，的取值范围是.