2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷     已知全集，集合，，则A.  B.  C.  D.     设，则(    )A.  B.  C.  D.     等比数列的前n项和为，，，则公比(    )A.  B.  C.  D.     某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级选修课的成绩分为1，2，3，4，5，共五个等级的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是(    )
 A. 3，5 B. 3，3 C. ，5 D. ，4    已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为(    )A.  B.  C.  D.     已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过E的下顶点C，则E的离心率为(    )A.  B.  C.  D.     酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，若他想要在不违规的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数为参考数据：，(    )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9    已知实数a，b满足，，则(    )A.  B. 0 C. 1 D. 2    下列式子等于的是(    )A.  B.
C.  D. 设，，且，则“”的一个必要不充分条件可以是(    )A.  B.  C.  D. 若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是(    )A.  B.
C. ， D. 已知定义在上的函数，(    )A. 若恰有两个零点，则的取值范围是
B. 若恰有两个零点，则的取值范围是
C. 若的最大值为，则的取值个数最多为2
D. 若的最大值为，则的取值个数最多为3已知平面向量，满足，则与夹角的大小为__________.将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为__________.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为__________.
 已知P为正方体表面上的一个动点，，M是棱AB延长线上的一点，且，若，则动点P运动轨迹的长为______.已知在数列中，，，且该数列满足
求的通项公式；
已知是数列的前n项和，且，求的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知
求
____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量单位：近似服从正态分布，如图所示，已知，

若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下．重量范围单位：个数242为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，
证明：；
若平面平面ACE，求二面角的余弦值．
已知函数，
当时，讨论的单调性；
当时，，求a的取值范围．如图，已知双曲线，过向双曲线C作两条切线，切点分别为，，且，
证明：直线PA的方程为
设F为双曲线C的左焦点，证明：

答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用交集定义求出，再由补集定义能求出【解答】解：全集，集合，，
，
则
故选：  2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质，考查学生的运算能力，属于基础题．
利用复数的运算性质化简即可求解．【解答】解：由题意可得，
故本题选  3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为等比数列中，，，
所以，
则，
则公比
故本题选  4.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了条形图的应用，考查了中位数和众数的定义，属于基础题．
将甲同学所有选修课成绩等级从低到高依次排序可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数．【解答】解：甲同学所有选修课成绩等级从低到高依次为1，2，2，3，3，4，4，5，5，5，
所以甲同学成绩等级的中位数为，
乙同学成绩等级的众数为
故选  5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的结构特征、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，从而，由圆锥的体积解得，由此能求出该圆锥的侧面积．【解答】解：如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，
由题可知圆锥的轴截面是等边三角形．
所以，圆锥的体积，解得，
所以该圆锥的侧面积为

故选：  6.【答案】A 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．
求出椭圆的顶点坐标，结合AB的垂直平分线过E的下顶点C，列出关系式，求解离心率即可．【解答】解：由题可知，，，所以，则，
解得，所以E的离心率
故选：  7.【答案】C 【解析】解：设至少需经过x个小时，
，即，
两边同时取对数可得，，
故至少需要8个小时．
故选：
设至少需经过x个小时，，即，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
 8.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查函数性质的应用，考查转化思想，属于中档题．
令，研究函数的性质，即可求解结论．【解答】解：令，
则，
是定义域为R的奇函数，
函数，，均为定义域上的增函数，
故在R上单调递增，
实数a，b满足，，
即，，
，
，
即，
故选：  9.【答案】CD 【解析】【分析】本题考查了余弦的差角公式以及倍角公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
根据余弦的差角公式以及倍角公式化简即可求解．【解答】解：因为

，故C正确，
根据余弦的倍角公式可得，故D正确，
其余两项均不正确，
故选：  10.【答案】AB 【解析】【分析】本题考查必要不充分条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
对于A，“”，，推不出；对于B，，，且，“”，作差法推导出，，推不出；举反例判断C和【解答】解：设，，且，“”，
对于A，“”，
，推不出，例如，，
“”的一个必要不充分条件可以是，故A正确；
对于B，，，且，“”，
，
，
，推不出，例如，，
“”的一个必要不充分条件可以是，故B正确；
对于C，“”不能推出，例如，，故C错误；
对于D，“”不能推出，例如，，故D错误．
故选：  11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属中档题．
函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则判断存在两个函数值的乘积为即可．【解答】解：当时，，
当时，满足条件；
当时，恒成立，不满足条件；
当，时，，
当，满足条件；
当时，，函数单调递增，
且，，
所以存在，，满足条件．
故本题选  12.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及分类讨论的思想，属于中档题．
若恰有两个零点，则，解得的取值范围，进行分类讨论，借助正弦函数的性质及图象可得结果．【解答】解：令，
若恰有两个零点，则，
解得的取值范围是
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，，解得
②当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，
则，
函数与在上的图象如下图所示：

可知存在唯一的，使得
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为
故选：  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
设，由数量积的计算公式可得，可得，由向量垂直的性质可得答案．【解答】解：根据题意，设，
则，则有，
可得，即，则与夹角的大小为
故答案为  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出正面向上的硬币枚数为2或者3的概率．【解答】解：将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，
则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为：

故答案为：  15.【答案】12 【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题．
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标与直线方程，再由抛物线的性质求解光线经过的路程．【解答】解：如图，抛物线的焦点坐标为，准线方程为

由抛物线的性质可得，，，
该光线经过的路程为
故答案为：  16.【答案】 【解析】解：因为，M是棱AB延长线上的一点，且，所以，
由勾股定理，可知，
因为，所以点P的轨迹是以M为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示：

所以动点P运动轨迹在平面ABCD上的交的弧线是以M为圆心，
为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；
在平面上的交的弧线是以M为圆心，为半径的圆弧，
其中该圆弧所对圆心角为；
在平面上的交的弧线是以B为圆心，为半径的圆弧，
其中该圆弧所对圆心角为；
所以动点P运动轨迹的长为
故答案为：
由题意可知，且点P的轨迹是以M为球心，为半径的球与正方体表面的交线，作出草图，根据弧长公式即可求出结果．
本题主要考查立体几何中的轨迹问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 17.【答案】解：由，得，
所以数列是等差数列，设其公差为d，又，，
则，即，
所以，故；
由可知，
所以……
即 【解析】本题考查数列的递推公式，并项求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
由可得，则数列是等差数列，结合，即可求出，进一步即可得到；
由可知，从而利用并项求和法即可求出
 18.【答案】解：由，可得，则；
由正弦定理可得，
在中，，
则，
，，
，
选择条件①，在中，，可得，
，，
，
根据辅助角公式，可得，
，
，即，
故
选择条件②
由，得，
，，因此，
整理得，即，则；
在中，，

故
选择条件③
由，
得，
即，
整理得，
由于，，则方程无解，故不存在这样的三角形． 【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用关系式的变换和正弦定理的应用求出结果；
选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果；
选条件②时，利用关系式的整合的应用求出结果；
选条件③时，利用边长的应用和关系式的变换的应用判断出三角形不存在．
 19.【答案】解：已知苹果的重量单位：近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，，
所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为
的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故X的分布列为：X123P所以 【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
 20.【答案】证明：连接DE，
因为，且D为AC的中点，所以，
因为，且D为AC的中点，所以，
因为平面BDE，平面BDE，且，
所以平面BDE，
因为，所以B，D，E，F四点共面，所以平面BDE，
所以；
解：由可知，
因为平面平面ACE，平面平面，平面ACE，
所以平面ABC，
所以DC，DB，DE两两垂直，
以D为坐标原点，DC，DB，DE为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
从而，，
设平面BCE的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面BCE的一个法向量为，
平面ABC的一个法向量为，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，，
所以二面角的余弦值为 【解析】本题考查线与线垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
由已知可证，，进而可证平面BDE，从而可证；
先证平面ABC，可得DC，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DC，DB，DE为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面BCE，平面ABC的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
 21.【答案】解：当时，，
令，则，所以在R上单调递增．
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，且
①当时，由可知，
所以，在上单调递增，则，符合题意．
②当时，，不符合题意，舍去．
③当时，令，则，
则，当时，，
所以在上单调递减，
当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的取值范围为 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
根据函数导数的正负判断函数的单调性；
分类讨论，利用导数判断函数的单调性，从而求解．
 22.【答案】证明：显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为，
联立，得，
则，
化简得，
因为方程有两个相等实根，
所以，，，
故PA的方程：，，
故直线PA的方程为
同理可得PB的方程，
又PA，PB均过，
所以，，故AB的方程为，
又，，
，
又，，所以，，
则，，
，，
故，，，故 【解析】本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了转化思想的应用，属难题．
设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式表示A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线方程，化简即可；
在第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明结论．