广东省惠州一中教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省惠州一中教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州一中教育集团九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定   抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D.    若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为(    )A.
B.
C.
D.    将抛物线向上平移个单位后所得的解析式为(    )A.  B.  C.  D.    抛物线与轴只有一个公共点，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D.    我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )A.  B.
C.  D. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点有以下四个结论：，，，若顶点坐标为，当时，有最大值为、最小值为，此时的取值范围是其中正确结论的个数是(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）关于原点对称点的坐标是______ ．方程的根为______．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式每两队之间赛一场现计划安排场比赛，应安排______个球队参赛．如图，点，，在上，度，度，则          度．
 
 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是______．
   三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：．本小题分
如图，是的直径，，求的度数．
本小题分
已知：二次函数
用配方法将函数关系式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
画出所给函数的图象．
本小题分
如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？
本小题分
如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
求证：；
求的度数．
本小题分
要修建一个圆形水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离地中心．
求抛物线解析式；
水管应多长．
本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
求抛物线的表达式；
在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 3.【答案】 【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
 4.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得．
故选：．
根据关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：抛物线向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
故选：．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于．
本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于，
因此将代入得，，
即，故正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于，
，
，故正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故正确；
综上所述，均正确，故有个正确结论，
故选A．
：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；
：结合图象发现，当时，函数值大于，代入即可判断；
：结合图象发现，当时，函数值小于，代入即可判断；
：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
 12.【答案】， 【解析】解：，
，
则，．
故答案为，．
本题考查直接开平方法解一元二次方程．
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
 13.【答案】 【解析】解：设应安排个球队参赛，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
应安排个球队参赛．
故答案为：．
设应安排个球队参赛，利用比赛总场数参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接，
，
，
又
，
，
，
故答案为：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意，
，，
，
由旋转的性质可得，，
，
，
旋转角的度数是；
故答案为：．
先求出的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
 16.【答案】解：，
，
，
，
不论为何值，都不能为负数，
此方程无解． 【解析】移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
 17.【答案】解：为直径

相同的弧所对应的圆周角相等，且

． 【解析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，再根据同弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得的度数．
考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．
 18.【答案】解：，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为．
如图，
 【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
根据二次函数解析式作图．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数解析式间的转换．
 19.【答案】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
所以，
答：道路的宽应为米． 【解析】要求路宽，就要设路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 20.【答案】证明：，
，
即，
由旋转可得，
在和中，
，
≌．
．
由中结论可得，
又，
，
，
． 【解析】利用，可证得，结合、，用““可证≌；
由可得，从而，再利用三角形外角关系可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，证明≌是解题的关键．
 21.【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为轴，与水管垂直的为轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：，代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：；

令，则．
故水管长为． 【解析】以池中心为原点，竖直安装的水管为轴，与水管垂直的为轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得值；
由题意可得，时得到的值即为水管的长．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
 22.【答案】证明：如图，连接，

，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：如图，过点作于，连接，，则，

，
四边形是矩形，
，，
设的半径为，
中，，，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径是． 【解析】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是本题的关键．
如图，连接，先根据四边形内接于，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
如图，过点作于，连接，，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，设的半径为，根据勾股定理列方程可得结论．
 23.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
；
连接交对称轴于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
点的坐标为或． 【解析】解析：用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
分两种情况讨论：
当时，，
点与点重合，
； 
当时，，
过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
同角的余角相等，
在和中，
≌
，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的左侧，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．