2021学年27.2.2 相似三角形的性质背景图课件ppt

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1. 相似三角形的判定方法有哪些？
◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似.
◑三边成比例的两个三角形相似.
◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
◑两角分别相等的两个三角形相似.
◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
相似三角形对应线段的比
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B =∠B'．
解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°．
∴△ABD∽△A'B'D'．
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比．
仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.
类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH.
∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比).
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上 的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______.
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'.
相似三角形周长的比等于相似比.
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？
分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′.
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍.
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长 分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在△ABC 和△DEF 中，∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1∶2.
如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____.
∴△ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2.
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2).
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE∽△ABC． 即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.
又∵ EF∥AB，∴ △EFC∽△ABC ，相似比为∴ 面积比为 1 : 4.设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断对错： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍． ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． ( )
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____.
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF， ∠A =∠D，AP，DQ 是中线，若 AP = 2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D.
5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF．∴ △ADE∽△EFC．又∵ S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC = 2 : 3．则 AE : AC = 2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25．∴ S△ABC = 25．
6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE∶S△ABC．
【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，要求它们的面积比，可先求出其相似比．观察得到△ADE 与△DCE 同高，易得 AE 与 CE 的比，进而求解．
解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，则
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.