2022新教材高中数学第2章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘素养作业北师大版必修第二册

这是一份2022新教材高中数学第2章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘素养作业北师大版必修第二册，共7页。
第二章　3A　组·素养自测一、选择题1．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　D　)A．－2 B．C．－ D．2[解析]　＝－＝3－＝2.2．(多选)下列说法中错误的是(　ABC　)A．λa与a的方向不是相同就是相反B．若a，b共线，则b＝λaC．若|b|＝2|a|，则b＝±2aD．若b＝±2a，则|b|＝2|a|[解析]　对于A，λ＝0时，结论不成立；对于B，a≠0时，结论成立；对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线；对于D，利用平面向量共线定理可知正确．3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　A　)A．λ(＋)　λ∈(0,1)B．λ(＋)　λ∈C．λ(－)　λ∈(0,1)D．λ(－)　λ∈[解析]　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．4．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　D　)A．－ B．＋C．＋ D．－[解析]　＝＋＝＋＝－.5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　A　)A． B．C．－ D．－[解析]　(方法一)：由＝2，可得－＝2(－)⇒＝＋，所以λ＝.故选A．(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．6．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是(　AB　)A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b[解析]　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可能．二、填空题7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝ 3 ；y＝ －4 .[解析]　因为a与b不共线，根据向量相等得解得8．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝ －2或 .[解析]　由题设知＝，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.9．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为  .[解析]　由已知＝－＝－＝(－)＋＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.三、解答题10．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．[证明]　∵＝＋B＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A，∴∥.又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．B　组·素养提升一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　C　)A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a[解析]　A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．2.在□ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝(　D　)A．a＋b B．a＋bC．a＋b D．a＋b[解析]　解法1：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.解法2：＝a＋b＝，又＝，∴选D．3．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是(　A　)A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p[解析]　∵＝＋，＝－3＝3，∴＝.∴＝＋＝＋(－)．∴r＝q＋(r－p)．∴r＝－p＋q.4．O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　B　)A．外心 B．内心C．重心 D．垂心[解析]　由＝＋λ，则－＝λ，则＝λ.而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且＝，＝，所以＋＝＋＝，则＝λ.由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的平分线上，即动点P的轨迹经过△ABC的内心．二、填空题5．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 2∶3 .[解析]　因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝ 2 .[解析]　如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.三、解答题7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．[证明]　在△BCD中，∵G，F分别是CD，CB的中点，∴＝，＝.∴＝－＝－＝.同理＝.∴＝，即与共线．又∵G，F，H，E四点不在同一条直线上，∴GF∥HE，且GF＝HE.∴四边形EFGH是平行四边形．8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值．[解析]　∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－.∴2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，又＝－，∴＝＋.又＝－＝－，且＝t，∴＋＝t.∴解得t＝.