数学苏科版第2章 对称图形——圆综合与测试单元测试达标测试

苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合，，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 如图，半径为的的弦，且于，连结、，若，则半径的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点不与，重合，下列结论：；；当最长时，；，其中一定正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

6. 在直角三角形中，，，，则这个三角形的外接圆直径为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，若内接于半径为的，且，连接、，则边的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在四边形中，，，，，如图点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在边长为的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点与点重合假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是______ ．

14. 如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为          ．
     

15. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于______度．

16. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，请按如下要求完成尺规作图不写作法，保留作图痕迹．
    作的角平分线，交于点；
    作线段的垂直平分线与相交于点；
    以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点．
     

18. 如图所示，若，都是的高，求证：，，，四点在同一个圆上．

19. 如图，中，弦与相交于点，，连结，求证：
    
     

．

20. 如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点．
     

求证：

若，，求外接圆的半径．

21. 如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接．
    求证：；
    若，求和的长．
     

22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，对于一个点和线段，给出如下定义：如果线段上存在一点，与点之间的距离小于等于，那么就把点叫做线段的关联点．
    如图，在，，，，这四个点中，是线段的关联点的是______；
    点是线段的关联点，请在图中画出点的所有位置．
     

23. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
    
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求阴影部分的面积结果保留．
24. 如图，是的直径，是弧的中点，延长至点，使，连接．
    求证：是的切线；
    若是的中点，的延长线交的延长线于点，连接交于点，连接已知的半径是，求的长．
     

25. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为：制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
    求这种加工材料的顶角的大小．
    若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分图中阴影部分的面积结果保留
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等也考查了等腰三角形的性质．
连接，如图，设的度数为，由于，根据等腰三角形的性质得到，则利用三角形外角性质得到，所以，然后利用三角形内角和定理得到，然后解方程求出，从而得到的度数．
【解答】
解：连接，如图，

设的度数为，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的相关概念，直角三角形斜边中线的性质，明确的最大值为的直径的长是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得的最大值是．
【解答】
解：，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是，
的最大值为，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【解答】
解：如图，连接．

，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，
设，
在中，则有，
解得，
，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：弦，
，
，
，
；
连接，，

，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接，，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，，
，故正确；
点是弧上一动点，
与不一定相等，
与不一定相等，故错误；
当最长时，为直径，
，
，
，
，故正确；
在上取一点，使，如图：

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断正确；由点是弧上一动点，可判断错误；根据最长时，为直径，可判定故正确；在上取一点，使，可得是等边三角形，从而≌，有，可判断正确．
本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
先根据勾股定理，得其斜边是，再根据直角三角形的外接圆的直径等于斜边即可求解．
【解答】
解：，，，
，
其外接圆的直径为．  

7.【答案】 

【解析】解：延长交于，连接，

则，，
，
，
，
，
故选：．
延长交圆于，连接，则，；又，根据含度角的直角三角形的边角关系得
此题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：弦平分，，
．
．
故选项D不符合题意；
，
，
，即，故选B不符合题意；
是的切线，
．
故选项A不符合题意；
如图，过点作于，则四边形是矩形，
．
在直角中，．
，
．
故选项C符合题意．
故选：．
根据切线的性质得到，证明，由此判断、选项；过点作于，构造直角，利用圆周角定理判断选项；利用三角形外角性质求得的度数，从而判断选项．
本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
，
由得，，
解得；
如图，当以为半径的过点时，半径最大，过点作于，
设，则，
在中，，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：．
分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的个正五边形．
先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去即可得解．

【解答】
解：五边形的内角和为，

正五边形的每一个内角为，

如图，延长正五边形的两边相交于点，

则，．

已经有个五边形，，

即完成这一圆环还需个五边形．

故选D．
 

12.【答案】 

【解析】解：设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，

四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：．
设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明，得到弓形的面积弓形的面积，则．
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点恰好与数轴上点重合，则转过的距离是圆的周长是，因而点对应的实数是．
故答案为：．
理解到的距离是圆的周长，根据周长公式即可求解．
本题主要考查了圆的周长公式的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，

以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，
由图可知，还经过点、、、、这个格点，
故答案为：．
根据圆的确定条件先做出过，，三点的外接圆，从而得出答案．
本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
，
由正五边形的内角和，得，
，
．
，
故答案为：．
根据多边形的内角和，可得，，，，根据等腰三角形的内角和，可得，根据角的和差，可得答案．
本题考查了正多边形的性质，多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为：．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：取的中点，连接、，如图．

、是的高，

．

和都是直角三角形．

点是的中点，

，分别为和斜边的中线，

，

、、、四点在以点为圆心，为半径的圆上．

【解析】本题考查直角三角形斜边上的中线，圆的相关知识．
取的中点，连接、，利用直角三角形斜边上的中线得出，进而可得结论．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
．

，
．
，，
，，
，
．

【解析】见答案
 

20.【答案】证明： 平分，．

又，．

平分，，

，

又，，

．

解：如图，连接．

，是圆的直径，．

，，，

，

外接圆的半径为．

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
通过证明得到；
连接，如图，证明为等腰直角三角形得到，从而得到外接圆的半径；
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，

，
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，可得结论；
由垂径定理和圆周角定理可求，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，；
如图，点的位置是图中封闭区域内，包括边界．
 

【解析】解：根据线段的关联点的定义可知，线段的关联点是：，，，
故答案为：，，．
见答案
根据线段的关联点的定义判断即可．
根据线段的关联点的定义画出封闭区域即可．
本题考查作图应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】证明：连接，如图：
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又为的半径，
直线是的切线；
解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积． 

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定得出即可；
根据勾股定理求出，求出，得出，再分别求出和扇形的面积即可．
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
是的直径，是弧的中点，
，
，，
为的中位线，
，
，
是的切线；

解：的半径是，
，，
是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
是的直径，
，
，
． 

【解析】连接，先由垂径定理可知，再证明为的中位线，得到，由平行线的性质可得，然后由切线的判定定理可得结论；
先证明≌，利用全等三角形的性质求得的值，再在中，由勾股定理求得的值，然后由直径所对的圆周角为直角可得，最后利用面积法可求得的长．
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、全等三角形的判定定理与性质定理、三角形的中位线定理及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设．
由题意得，，
，
．

，
． 

【解析】设根据弧的两种求法，构建方程，可得结论．
根据求解即可．
本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．