2021省大庆中学高三下学期第一次仿真考试数学（文）试题含答案

这是一份2021省大庆中学高三下学期第一次仿真考试数学（文）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
               大庆中学2021年高考仿真模拟试题-数学（文）一、单选题1．已知集合，，则（    ）A．     B．   C．   D．2．若、、，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件3．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（    ）A．−2     B．2      C．     D．−14．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%5．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期是B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上的最小值是D．曲线关于直线对称 6．已知向量，满足，，，向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根.则S5=（    ）A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣108．已知，则（    ）A． B． C． D．9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ）A．若，则   B．若，则C．若，则   D．若，则11．已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．  C．  D．12．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．  二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最小值是___________.14．若数列满足，且对于任意的，都有，则数列的前项和_____．15．在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，，则四棱锥的外接球的表面积为________．16．已知双曲线的中心为，左焦点为，左顶点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，若直线恰好平分线段，则该双曲线的离心率为___三、解答题17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a，x的值；(2)从地2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19．在锐角中，角所对的边为且满足.（1）求角的大小.        （2）已知，求的取值范围.20．已知，分别为椭圆：的左､右焦点，且离心率为，点在椭圆上.    （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于两点，且.问：的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.21．已知为函数的极值点（1）求的值；（2）若，，求实数的取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点，，若、都在曲线上，求的值
1．A【分析】集合A是已知的，只需将集合B中x的范围求解出来表示出集合B，再求并集即可.【详解】集合A=,，解得或,即,所以，即(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：A【点睛】注意集合B的解集、以及求交集的准确性，区别交集和补集.2．B【分析】利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可得出结论.【详解】充分性：若，，则，充分性不成立；必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数的概念，列出方程，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得，因为复数是纯虚数，所以且，解得.故选：C．4．B【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.【详解】当时，；当时，.所以增大的百分比为：.故选：B.5．C【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；【详解】解：由函数图象可知，所以，因为，所以最小正周期为，所以，故A错误；又函数过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以，当，所以，因为在上不单调，故B错误；当，所以，所以，故C正确；，当时，，故不是函数的对称轴，故D错误故选：C6．D【分析】由给定条件依次求出和，再利用向量夹角公式求解即得.【详解】向量，满足，，则，得，由，得，向量与的夹角为，，，所以.故选：D7．C【分析】根据a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根，得到的关系,再由求解.【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根，∴，所以故选：C.8．A【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【详解】由题意有：，∴，又，∴.故选：A.9．A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A10．D【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.【详解】A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因为，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D11．B【分析】由题意，当直线与圆相切时，最大，此时，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于，即可解出不等式.【详解】由题意可得，当直线与圆相切时，最大，此时所以要使圆上存在点，直线上存在点，使得成立则有，解得故选：B12．C【分析】本题首先可设，然后根据得出为定义在上的减函数，再然后根据为奇函数得出，最后将转化为，即可解出不等式.【详解】设，则，因为，所以，为定义在上的减函数，因为为奇函数，所以，，，，即，，，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数并利用函数性质解不等式，构造函数是解决本题的关键，考查奇函数的性质的应用，考查利用函数单调性解不等式，是中档题.13．.【分析】画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故答案为：.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.14．【分析】由，，利用叠加法，求得，求得，结合裂项法求和，即可求解.【详解】由，且对于任意的，都有，可得，则，所以．故答案为：．15．【分析】先根据面面垂直，取平面的外接圆圆心G，平面的外接圆圆心H，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，取的中点，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由，，可得，，，则半径，故四棱锥外接球的表面积为．故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16．【分析】设的中点为，连接，分析可知且，进而可得出，可得出关于、所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设的中点为，连接，、分别为、的中点，则且，所以，，即，，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得、，直接利用求解；（2）若已知、，可直接利用得解；（3）若得到的是关于、的齐次方程（、、为常数，且），则转化为关于的方程求解.17.．(1)a＝18，x＝0.9；(2)【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为＝10再结合频率分布直方图可知n＝＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×18＝2人；第3组：×27＝3人；第3组：×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）过作，垂足为，连，，作，垂足为，易得，通过勾股定理可得，即可得平面，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量，利用向量法即可得结果.【详解】（Ⅰ）过作，垂足为，连，，则，作，垂足为，则，，所以，即又，所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系则，，，，，设平面的法向量为，则取法向量，设直线与平面所成角为，则.19．（1）；（2）.【分析】（1）根据以及二倍角的余弦公式化简原式得到关于的方程，由此求解出的值，从而的大小可求；（2）先根据正弦定理求解出关于的表示，然后根据以及三角恒等变换的公式化简的表达式，结合的范围可求解出的取值范围.【详解】（1）因为，所，所以，所以，且为锐角，，所以，所以；（2）因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，又在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用正弦定理将边化为角的形式，结合三角恒等变换的公式进行化简求解，同时本例中角的范围确定也很重要；若题设未对三角形的形状作规定，第二问还可以采用余弦定理结合基本不等式进行求解.20．（1）；（2）是定值，定值为.【分析】（1）由离心率为，点在椭圆上，结合椭圆的关系，列方程组，解得，进而可得答案；（2）设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，，由得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算即可得出答案.【详解】（1）根据题意可得：，解得：，，椭圆的方程为.（2）由题意知：，设，，联立得：，，即，则，，，，，满足，，又点到直线的距离，，把代入上式得：的面积为定值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用已知等量关系得到变量之间的关系，结合韦达定理可表示出所求的三角形面积；④化简三角形面积的表达式，消元可得定值.21．（1），，解得，经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，．（2），，设，其中，令，则，在递增①当时，即，，在递增，符合题意，所以②当时，即，，，在上，，在递减，所以时，不符合题意,综上，实数的取值范围为22．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，根据题意设曲线的极坐标方程为（为半径），将点的极坐标代入曲线的极坐标方程，求出的值，可得出曲线的极坐标方程，确定曲线的形状，可得出曲线的普通方程；（2）将曲线的方程化为极坐标方程为，将点、的极坐标代入曲线的极坐标方程可得出和的表达式，代入可求出的值.【详解】（1）的参数方程为，的普通方程为，由题意，设曲线的极坐标方程为（为半径），将代入，得，，圆的圆心的直角坐标为，半径为，因此，的直角坐标方程为；（2）曲线的极坐标方程为，即，..