初中第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课后测评

这是一份初中第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课后测评，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第二十八章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是(    )
A. 0.9
B. 1.2
C. 1.5
D. 1.8
2. 如图，关于△ABC，有以下结论：①若O是锐角△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60∘，GE=2BG，则折痕EF的长为(    )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 23
4. 如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2−1；③四边形AEFG是菱形；④若S△AEG=1，则S△DGC=3+22.其中正确的结论个数为(    )
A. ①③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
5. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c=1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆 ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE.则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC=120°.其中，说法正确的有(   )

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6. 在矩形ABCD中，2OG ，可得 △AGD 的面积 >△OGD 的面积；
④ 由折叠的性质与平行线的性质，易得 △EFG 是等腰三角形，即可证得 AE=GF ；
⑤ 易证得四边形 AEFG 是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得 BE=2OG ；
⑥ 根据四边形 AEFG 是菱形可知 AB//GF ， AB=GF ，再由 ∠BAO=45° ， ∠GOF=90° 可得出 △OGF 时等腰直角三角形，表示出 OG=OF=22x，根据 ，求出x2=22，即可得到答案 ．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG= 12 ∠ADO=22.5°，故①正确；
设AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=2EF=2AE= 2 x，
∴AB=AD=x+2x，
∴ tan∠AED=ADAE=x+2xx=2+1，故②错误；
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF/​/AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
∵四边形AEFG是菱形，
∴AB//GF，AB=GF，AE=EF=AG=GF=x，
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF时等腰直角三角形，
∴OG=OF=22x，
∴S△GOF=12×22x×22x=14x2，
S△BEF=12×x×x=12x2，
，
S  正方形ABCD =AB  ​2 =2+12x2=3+22x2，
，
∴14x2+12x2+2×1=14×3+22x2，
∴x2=22，
∴S△DOC=143+22x2=143+22×22=322+2，
S△GOD=12×22x×22+1x=2422+1×22=22+1，
∴ S△DGC=322+2+22+1=22+3 ， 故⑥正确．
∴其中正确结论的序号是：①③④共三个．
故答案为A．   
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，即可判断 ① ；根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得 a2+b2=c2 与 a2+c2=2b2 ，用 a 表示出 b 与 c ，即可判断 ② ；由 AB 是 ⊙O 的直径，即可求得 ∠ACB=∠ADB=90° ，然后利用勾股定理与圆的性质，即可判断 ③ ；分别从 AC ： AE ： CE=1 ： 2 ： 3 与 AC ： AE ： CE=3 ： 2 ： 1 去分析，即可判断 ④ ．
【解答】
解：设等边三角形的一边为 a ，则 a2+a2=2a2 ，
∴ 符合奇异三角形”的定义．
∴① 正确；
如图，

∵∠C=90° ，
则 a2+b2=c2① ，
∵Rt△ABC 是奇异三角形，且 b>a ，
∴a2+c2=2b2② ，
由 ①② 得： b=2a ， c=3a ，
∴a ： b ： c=1 ： 2 ： 3 ；则 ② 错误 ;
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90° ，
在 Rt△ACB 中， AC2+BC2=AB2 ，
在 Rt△ADB 中， AD2+BD2=AB2 ，
∵ 点 D 是半圆 ADB 的中点，
∴AD=BD ，
∴AD=BD ，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2 ，
∴AC2+CB2=2AD2 ，
又 ∵CB=CE ， AE=AD ，
∴AC2+CE2=2AE2 ，
∴△ACE 是奇异三角形；则 ③ 正确 ;
② 由 ① 可得 △ACE 是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2 ，
当 △ACE 是直角三角形时，
由 (2) 得： AC ： AE ： CE=1 ： 2 ： 3 或 AC ： AE ： CE=3 ： 2 ： 1 ，
当 AC ： AE ： CE=1 ： 2 ： 3 时， AC ： CE=1 ： 3 ，即 AC ： CB=1 ： 3 ，
∵∠ACB=90° ，
∴∠ABC=30° ，
∴∠AOC=60°
当 AC ： AE ： CE=3 ： 2 ： 1 时， AC ： CE=3 ： 1 ，即 AC ： CB=3 ： 1 ，
∵∠ACB=90° ，
∴∠ABC=60° ，
∴∠AOC=120° ，
综上可知： ∠AOC=60° 或 120°. 则 ④ 错误．   
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，三角形三边关系．
过点A作AF⊥AE，使得AF=2AE=8，则EF=42+82=45，说明 △BAE ∽ △DAF ，根据相似三角形的性质可得 BE=12DF ，故可知当 DF 最大时， BE 最大，在 △DEF 中，根据三角形三边关系可知当 D ， E ， F 三点共线时， DF 最大，最大值为 DE+EF=6+45 ，即可求解．
【解答】
解：过点A作AF⊥AE，使得AF=2AE=8，则EF=42+82=45，
在Rt△ABD中， tan∠ABD=2 ，即 AD=2AB ，
∴ADAB=AFAE ，即 ADAF=ABAE ，
又 ∵∠EAF=∠BAD=90° ，
∴∠DAF=∠BAE ，
∴△BAE ∽ △DAF ，
∴BEDF=AEAF=12 ，
∴BE=12DF ，
故当 DF 最大时， BE 最大，
在 △DEF 中， DF≤DE+EF ，故当 D ， E ， F 三点共线时， DF 最大，最大值为 DE+EF=6+45 ，
此时，BE的最大值为 12DF=25+3 ．
  
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
连接 OA 、 OB 、 OP ，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F. 利用切线求得 CA=CE ， DB=DE ， PA=PB ，再得出 PA=PB=32r. 利用 Rt△BFP ∽ Rt△OAF 得出 AF=23FB ，在 Rt△FBP 中，利用勾股定理求出 BF ，再求 tan∠APB 的值即可．
【解答】
解：连接 OA 、 OB 、 OP ，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F ．

∵PA ， PB 切 ⊙O 于 A 、 B 两点， CD 切 ⊙O 于点 E
∴∠OAF=∠PBF=90° ， CA=CE ， DB=DE ， PA=PB ，
∵△PCD 的周长 =PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r ，
∴PA=PB=32r ．
在 Rt△PBF 和 Rt△OAF 中，
∠FAO=∠FBP∠OFA=∠PFB ，
∴Rt△PBF ∽ Rt△OAF ．
∴AFFB=AOBP=r32r=23 ，
∴AF=23FB ，
在 Rt△FBP 中，
∵PF2−PB2=FB2
∴(PA+AF)2−PB2=FB2
∴(32r+23BF)2−(32r)2=BF2 ，
解得 BF=185r ，
∴tan∠APB=BFPB=185r32r=125 ，
故选： B ．   
8.【答案】A
【解析】解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90得△ABG，连接EF，如图，

则G、B、E、C在同一直线上，AG=AF，∠ABG=∠ADF=90°，
设正方形ABCD的边长为a，则EG=BE+BG=BE+DF=12a+13a=56a，
∵EF=EC2+CF2=(12a)2+(13a)2=56a，
∴EG=EF，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SSS)，
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠GAF=90°，
∴∠EAF=45°，
故①正确；
②∵∠EAF=∠DBC=45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∴∠ANE+∠ABE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠ANE=90°，
故②正确；
③连接AC与BD交于点O，则OA=OB=OD=12BD，AC⊥BD，

∵BC/​/AD，
∴△MBE∽△MDA，
∴BMDM=BEAD=12，
∴BM=13BD，
∴OM=OB−BM=12BD−13BD=16BD，
∴tan∠AMN=OAOM=12BD16BD=3，
故③正确；
④∵CD//AB，
∴△DNF∽△BNA，
∴DNBN=DFAB=13，
∴DN=14BD，
∵BM=13BD，
∴MN=BD−BM−DN=512BD，
∴DN：MN：BM=3：5：4，
故④错误；
故选：A．
①将△ADF绕点A顺时针旋转90得△ABG，连接EF，证明EG=EF，再证△AEG≌△AEF得∠EAG=∠EAF，便可求得∠EAF，从而判断①的正误；
②证明A、B、E、N四点共圆，得∠ANE与∠ABE的数量关系，便可判断②的正误；
③连接AC与BD交于点O，证明△MBE∽△MDA用BD表示OA、BM，进而表示OM，便可求得tan∠AMN，从而判断③的正误；
④由相似三角形求得BM、DN与BD的数量关系，进而求得MN与BD的数量关系，便可求得DN：MN：BM的值，进而判断④的正误．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合应用这些知识解题是关键．

9.【答案】B
【解析】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，

∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．
∴PD=PC，PA=PB．
∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，
∴△FPG≌△PED，
∴PD=PG．
∴PC=PG．
∴①的结论正确；
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD=12(180°−∠DPC)．
∵PC=PG，
∴∠PCG=∠PGC=12(180°−∠CPG)．
∴∠PCD+∠PCG=12[360°−(∠DPC+∠CPG)]．
∵∠DPC+∠CPG=90°，
∴∠PCD+∠PCG=135°．
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=45°．
∵△FPG≌△PED，
∴∠DEP=∠GFP．
∵∠HFP+∠PFG=180°，
∴∠DEP+∠HFP=180°．
∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，
∴∠EHF+∠EPF=180°．
∴∠EPF=90°，
∴∠EHF=90°．
即GH⊥AD．
∵AD/​/BC，
∴GF⊥BC．
∴∠CGF=45°．
∴tan∠CGF=1．
∴②的结论正确；
∵PA=PB，PM⊥AB，
∴∠APM=∠BPM，
∵PM/​/AE，
∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．
∴∠PEA=∠PAE．
∴PA=PE．
∵PE=PF，
∴PA=PB=PE=PF．
∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．
∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．
∴点F在对角线AC上，
∴∠FCB=45°．
∵∠BCG=∠CGF=45°，
∴△FCG为等腰直角三角形．
∵BC平分∠FCG，
∴BC垂直平分FG．
∴③的结论正确；
由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，
∴当EF⊥AC时，EF的值最小．
此时点E与点D重合，
DF=AD⋅sin45°=4×22=22．
∴④的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：①②③，
故选：B．
延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接解直角三角形的知识可得④的结论不正确．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

10.【答案】C
【解析】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，

∵AB/​/CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME=90°，
∵tan∠ABF=2，
∴FNBN=2，
设BN=x，则FN=2x，
∴AN=4−x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE=EF，DA=AF=4，
∵AE=AE，
∴△ADE≌△AFE(SSS)，
∴∠D=∠AFE=90°，
∵AN2+NF2=AF2，
∴(4−x)2+(2x)2=42，
∴x1=0(舍)，x2=85，
∴AN=4−x=4−85=125，MF=4−2x=4−165=45，
∵∠EFM+∠AFN=∠AFN+∠FAN=90°，
∴∠EFM=∠FAN，
∴cos∠EFM=cos∠FAN，
∴FMEF=ANAF，即45EF=1254，
∴EF=43，
∴DE=EF=43．
故选：C．
过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN=x，则FN=2x，则AN=4−x，由对称的性质得出DE=EF，DA=AF=4，证明△ADE≌△AFE(SSS)，得∠D=∠AFE=90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．

11.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠C=∠ADF=90°，CE=BE=1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°，
∴∠DAN=∠EDC，
在△ADF与△DCE中，∠ADF=∠C,AD=CD∠DAF=∠CDE，
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DF=CE=1，
∵AB/​/DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴S△ABMS△FDM=(ABDF)2=4，
∴S△ABM=4S△FDM；故①正确；
由勾股定理可知：AF=DE=AE=12+22=5，
∵12×AD×DF=12×AF×DN，
∴DN=255，
∴EN=355，AN=AD2−DN2=455，
∴tan∠EAF=ENAN=34，故③正确，
作PH⊥AN于H．
∵BE/​/AD，
∴PAPE=ADBE=2，
∴PA=253，
∵PH/​/EN，
∴AHAN=PAAE=23，
∴AH=23×455=8515，HN=4515，
∴PN=PH2+NH2=26515，故②正确，
∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．
故选：A．
①正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②正确．作PH⊥AN于H，求出PH，HN即可解决问题．
③正确．求出EN，AN即可判断．
④错误．证明∠DPN≠∠PDE即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可知： NC=NE ，所以点 E 在以 N 为圆心， NC 长为半径的圆上，点 B ， N ， E 共线时，如图所示：此时 BE 最大，由翻折可知： MN 是 CE 的垂直平分线，延长 GN 交 AB 于点 D ，可得 DN 平分 ∠ANB ，过点 D 作 DH⊥BN ，然后证明 Rt△AND ≌ Rt△HND(HL) ，可得 AN=HN=6 ，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图，由翻折可知： NC=NE ，  
所以点 E 在以 N 为圆心， NC 长为半径的圆上，点 B ， N ， E 共线时，如图所示：此时 BE 最大，  
 
在 Rt△ABC 中， ∠A=90° ，  
∵AB=8 ， tan∠ABC=ACAB=32 ，  
∴AC=12 ，  
∵ 点 N 是边 AC 的中点，  
∴AN=CN=6 ，  
∴NE=6 ，  
由翻折可知： MN 是 CE 的垂直平分线，  
∴∠ENG=∠CNG ，  
延长 GN 交 AB 于点 D ，  
∴∠BND=∠AND ，  
∴DN 平分 ∠ANB ，  
∵DA⊥AN ，  
过点 D 作 DH⊥BN ，  
∴DA=DH ，  
∴DB=AB−AD=8−DH ，  
在 Rt△AND 和 Rt△HND 中，  
DN=DNDA=DH ，  
∴Rt△AND ≌ Rt△HND(HL) ，  
∴AN=HN=6 ，  
在 Rt△ABN 中， AB=8 ， AN=6 ，  
∴BN=AB2+AN2=10 ，  
∴BH=BN−HN=10−6=4 ，  
在 Rt△DBH 中， DB=8−DH ，根据勾股定理得：  
DB2=DH2+BH2 ，  
∴(8−DH)2=DH2+42 ，  
解得 DH=3 ，  
在 Rt△ADN 中， DH=DA=3 ， AN=6 ，根据勾股定理得：  
DN2=AD2+AN2 ，  
∴DN2=32+62=45 ，  
∴DN=35 ，  
∵∠A=∠NGC=90° ， ∠AND=∠GNC ，  
∴∠ADN=∠NCG ，  
∵sin∠ADN=ANDN=635=255 ，  
∴sin∠NCG=sin∠NCE=255.   
13.【答案】3或1或3−32
【解析】解：分三种情况：
(1)当点P在AB边上时，如图1，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠CBD=15°，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=30°，
∵∠AEP=90°，
∴∠APE=60°，
∴tan∠APE=tan60°=3；
(2)当点P在BC边上时，如图2，

∵∠AEP=90°，∠AED=45°，
∴∠PED=45°，
∴∠AEB=∠PEB=135°，
∵BE=BE，∠ABD=∠CBD，
∴△ABE≌△PBE(ASA)，
∴BA=BP，EA=EP，
∵P、C两点重合，∠EAC=∠APE=45°，
∴tan∠APE=tan45°=1；
(3)当点P在CD边上时，设AP交BD于点G，连接CE、CG、AC，如图3，

四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴EA=EC，GA=GC，∠CED=∠AED=45°，
∵∠EAP=90°，
∴∠AGE=∠AED=45°，
∴AE=AG，
∴AE=EC=CG=GA，
∴四边形AECG是正方形，
∵AD/​/BC，∠ABC=30°，
∴∠BAD=150°，
∵∠BAE=30°，∠EAP=90°，
∴∠DAP=30°，
∴∠APC=60°，
∴∠GCP=30°，
在Rt△GCP中，设GP=a，则GC=3a，
∴AE=AG=3a，AP=(3+1)a，
∴tan∠APE=AEAP=3a(3+1)a=3−32．
综上所述，tan∠APE=3或1或3−32．
故答案为：3或1或3−32．
分三种情况：(1)当点P在AB边上时，如图1，利用菱形的性质和三角形的外角性质可得∠APE=60°，进而可得结果：(2)当点P在BC边上时，如图2，利用菱形的性质和ASA可证△ABE≌△PBE，进一步即可推出∠EAC=∠APE=45°，于是可得结果；(3)当点P在CD边上时，设AP交BD于点G，连接CE、CG、AC，如图3，利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形AECG是正方形，根据菱形的性质易得△APD是底角为30的等腰三角形，进而可得∠APC=60°，即得∠GCP=30°，在Rt△GCP中，设GP=a，则GC=3a，则AE、AP可用含a的代数式表示，于是可得答案．
此题是填空题的压轴题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，综合性强，有一定难度，利用分类讨论思想，正确添加辅助线，掌握菱形和正方形的判定与性质是解题关键．

14.【答案】1213
【解析】解：过点E作EF/​/AD，交BC于点F，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，如右图，
∵∠CAD=∠BAD，AO=AO，∠COA=∠EOA，
∴△AOC≌△AOE(ASA)，
∴OC=OE，AC=AE，
∵EF/​/OD，OC=OE，
∴CD=DF，
∴EF=2OD，
设OD=a，则EF=2a，
∵AE=EB，EF/​/AD，
∴DF=FB，
∴AD=2EF=4a，
∵CE=AD，AO=AD−OD，
∴CE=4a，AO=3a，
∴OC=12CE=2a，
在Rt△AOC中，AC=OC2+AO2=13a，
∴AE=AC=13a，
∵S△ACE=12AE⋅CM=12AO⋅CE，
∴AE⋅CM=AO⋅CE，
∴13a×CM=3a×4a，
∴CM=121313a，
∴在Rt△ACM中，sin∠CAB=CMAC=121313a13a=1213，
故答案为：1213．
过E点作EF/​/AD，利用三角形相似，各线段长度，则勾股定理求得AC，利用面积相等，求得CM，从而得出答案．
本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化，是解题的关键．

15.【答案】1；5−12
【解析】解：(1)∵MN为⊙O的直径，
∴∠MPN=90°，
∵PQ⊥MN，
∴∠PQN=∠MPN=90°，
∵NE平分∠PNM，
∴∠MNE=∠PNE，
∴△PEN∽△QFN，
∴PEQF=PNQN，即PEPN=QFQN①，
∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°，
∴∠NPQ=∠PMQ，
∵∠PQN=∠PQM=90°，
∴△NPQ∽△PMQ，
∴PNMP=NQPQ②，
∴①×②得PEPM=QFPQ，
∵QF=PQ−PF，
∴PEPM=QFPQ=1−PFPQ，
∴PFPQ+PEPM=1，
故答案为：1；
(2)∵∠PNQ=∠MNP，∠NQP=∠NPM，
∴△NPQ∽△NMP，
∴PNMN=QNPN，
∴PN2=QN⋅MN，
∵PN2=PM⋅MN，
∴PM=QN，
∴MQNQ=MQPM，
∵cos∠M=MQPM=PMMN，
∴MQNQ=PMMN，
∴MQNQ=NQMQ+NQ，
∴NQ2=MQ2+MQ⋅NQ，即1=MQ2NQ2+MQNQ，
设MQNQ=x，则x2+x−1=0，
解得，x=5−12，或x=−5+12OB，求出OA，OB的长各是多少即可．
(2)首先根据射线BC平分∠ABO交x轴于C点，设∠OBC=∠ABC=α，则tan2α=2tanα1−tan2α=43，据此求出tanα的值是多少；然后求出OC的值是多少，即可确定出点C的坐标．
(3)根据题意，分三种情况：①当AC、BQ为四边形ABCQ的两条对角线时；②当AQ、BC为四边形ABCQ的两条对角线时；③当AB、CQ为四边形ABCQ的两条对角线时；然后根据平行四边形的性质，分类讨论，求出符合条件的点Q的坐标是多少即可．
(1)此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
(2)此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

24.【答案】(1)证明：∵点D为AB边中点，
∴AD=BD，
∵DF=ED，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
(2)解：如图，连接CD，过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，

∵cos∠EBF=BGBF=35，BF=5，
∴BG=3，
∴FG=AC=4，
∵四边形AEBF是菱形，
∴CG=AF=BF=5，
∴BC=CG+BG=5+3=8，
∴AB=AC2+BC2=42+82=45，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=12AB=25．
∴CD的长为25．
【解析】(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AEBF是菱形；
(2)过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，根据cos∠EBF=35，BF=5，可得BG=3，FG=AC=4，根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．